Если диагонали четырёхоугольника перпендикулярны, то этот четырёхугольник - ромб, а значит, все его стороны равны, т.е. АВ=ВС=СD=АD=а.
Если этот ромб вписали в окружность, то он-правильный. А правильный ромб-это квадрат.
Значит, АВСD-квадрат.
Точка О является центром окружности.
Также она является серединой пересечения диагоналей.
По теореме Пифагора находим, что ОВ= а*корень из 2 и всё поделить на 2
Пусть ОН-расстояние от точки О до стороны АВ. ВН=половине АВ= а\2
Находим ОН. Также по теореме Пифагора.
ОН= а\2
s = x*(80 -2x)/2= 40x - x^2
s' = 40-2x
s'=0 - т. экстремума
40-2x = 0
2x =40
x =40/2
x = 20 м
Тогда ширина будет (80-2*20)/2 =20 м, т. е. прямоугольник с максимальной площадью при заданном периметре - это квадрат.
s макс = 20*20 = 400 кв. м