Question

Нужно : окружности радиусов 14 и 77 касаются друг друга внешним образом . определите сторону правильного треугольника, две вершины которого лежат по две на каждой из данных окружностей. (ответ 22)

Answer 1

 
Значит третья точка будет лежать на  пересечения этих окружностей , тогда , пусть угол центральные углы , стягиваемые хорд (стороны  треугольника) равны $a;b$ соответственно большего и меньшего , тогда по теореме косинусов  (равны потому что треугольник правильный) 
$2*77^2-2*77^2*cosa=2*14^2-2*14^2*cosb$
Проведем общую касательную  к этим окружностям , тогда в сумме 
$a+b=60а*2$  (угол между секущей и касательной , равен половине дуги   стягиваемой хордой )       
  $11858-11858*cosa = 392-392*cos( \frac{2\pi}{3}-a)$ 
 откуда     $a=2arctg( \frac{1}{ 4\sqrt{3}})\\ cosa= \frac{47}{49}\\ \sqrt{11858-11858* \frac{47}{49}} = \sqrt{484} = 22$
  
 

Answer 2

Пусть точка касания двух окружностей  К , эта одна из вершин ,  две другие
  A∈(O₁;R₁) , B ∈ (O₂;R₂) .
Длина стороны правильного треугольника  обозначаем через  x (KA=KB=AB =x).
Из ΔO₁KA :    x = 2R₁cosα  ;
Из ΔO₂KB:     x =2R₂cosβ ;
2R₁cosα =2R₂cosβ  , но  α+β +60° =180° ⇒ β =120° -α .
R₁cosα = R₂cos(120° -α) ;
14cosα =77(cos120°cosα +sin120°sinα) ;
2cosα = 11( -cosα/2 +√3/2*sinα) ;
4cosα = -11cosα+11√3*sinα ;
15cosα =11√3sinα ;
tqα =5√3/11 ⇒ cosα= 1/√(1+tq²α) =1/√(1+(5√3/11)²) =1/√((121+75)/11²) =11/14.
окончательно  :
x = 2R₁cosα =2*14*11/14 =22.
ответ:   22.