Question

Вправильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4 корней из 3, боковое ребро 5 см. найдите объем и площадь боковой поверхности пирамиды.

Answer 1

Vпир=(1/3)*Sосн*h
Sбок=(1/2)*Pосн*l, где Sосн - площадь основания (правильный треугольник), h - высота пирамиды, Pосн - периметр основания, l - апофема=боковое ребро пирамиды.

Sосн=$\frac{1}{2}*4 \sqrt{3}* 4\sqrt{3}*sin60=24* \frac{ \sqrt{3} }{2}=12 \sqrt{3}$

Sбок=$\frac{1}{2}*(4 \sqrt{3}*3)*5=30 \sqrt{3}$

Найдём объём пирамиды. Пусть SABC - пирамида, SO=h - её высота. Проведём СМ - высоту в равностороннем треугольнике основания (она также будет являться медианой) и медиану BL. Тогда точка O окажется в точке пересечения медиан. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то есть CO=(2/3)CM. Из прямоугольного треугольника CMB найдём $CM=BC*sin60=4 \sqrt{3}* \frac{ \sqrt{3}}{2}=6$. Тогда $OC= \frac{2}{3}*6=4$. По теореме Пифагора в ΔSOC: $h=SO= \sqrt{25-16}=3$. $V= \frac{1}{3}*12 \sqrt{3}*3=12 \sqrt{3}.$