1. Соединим точки С и D с центром. Тогда треугольники AOD и ВОС равнобедренные (OA = OB = OC = OD как радиусы), ⇒
∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4.
∠2 = ∠3 как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AD и ВС секущей АВ. Но тогда в этих треугольниках равны и углы при вершине О. Значит треугольники AOD и ВОС равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒
AD = BC.
2. Точки, находящиеся на данном расстоянии от данной прямой а, будут расположены на прямой, параллельной прямой а (красные прямые). В зависимости от расположения прямых задача может иметь одно решение (1), два решения (2) и не иметь решения (3).
пусть ABCD прям. трапеция
CM=MD - по условию М середина CD
Рассм. тр. ABM
проведем высоту MN
так как M середина CD, то AN=BN и ⇒ MN - средняя линия трапеции
S(abcd) = 1/2*(a+b)*h или 1/2*(BC+AD)*CH
CH=AB - по построению трап. прям-ая
S(abm)=1/2*AB*MN или 1/2*CH*((BC+AD)/2) ⇒ 2*S(abm)=1/2*(BC+AD)*CH
Отсюда S(abm)=1/2*S(abcd)