Катеты данного прямоугольного треугольника равны 2√10 см и 6√10 см.
Объяснение:
Рисунок прилагается.
Дано: ABC прямоугольный треугольник, ∠ С = 90°, CH- высота, AH = 2 см - проекция катета AC на гипотенузу, BH = 18 см - проекция катета BC на гипотенузу.
Найти катеты AC и BC.
Обозначим для удобства катеты AC = a, BC = b, проекции катетов AH = a₁, BH = b₁, высоту CH = h.
Высота в прямоугольном треугольнике, опущенная на гипотенузу, равна среднему пропорциональному проекций катетов на гипотенузу.
h² = a₁*b₁ = 2 * 18 = 36; h = 6
⇒ Высота треугольника, опущенная на гипотенузу CH = h = 6 см.
Из прямоугольного ΔACH по теореме Пифагора:
a² = h² + a₁² = 6² + 2² = 36 + 4 = 40; a = √40 = 2√10
Катет AC = 2√10 см/
Из прямоугольного ΔBCH по теореме Пифагора:
b² = h² + b₁² = 6² + 18² = 36 + 324 = 360; b = √360 = 6√10
Катет BC = 6√10 см.
Катеты данного прямоугольного треугольника равны 2√10 см и 6√10 см.
Рассмотрим 4 случая:
1. Прямая MN пересекает ребро AB в точке P, а ребро CD в точке O (картинка 1).
Если прямая MN параллельна AD (рис. 1), то она параллельна и плоскости АА₁D₁. Секущая плоскость проходит через прямую MN, параллельную АА₁D₁, значит линия пересечения с этой гранью параллельна MN. Достаточно в грани АА₁D₁D провести прямую КТ, параллельную прямой AD, тогда КТ параллельна и MN.
КОРТ – искомое сечение.
Если прямая MN не параллельна AD (рис. 2 и 3)
KO - отрезок сечения.
MN∩AD = R
R и К лежат в плоскости одной грани. Проводим прямую КR.
KR пересекает прямую АA₁ в точке T.
Если эта точка лежит на ребре АА₁ (рис. 2), то KOPT - искомое сечение.
Если же нет, то прямая KR пересечет ребро A₁D₁ в точке Е, а прямая ТР ребро А₁В₁ в точке F. KOPFE – искомое сечение.
2. Прямая MN пересекает ребро AD в точке P и ребро CD в точке O (картинка 2).
Точки К, Р и О попарно лежат в одних и тех же гранях. Просто соединяем их.
КРО - искомое сечение.
3. Прямая MN пересекает ребро AB в точке P и ребро BC в точке O (картинка 3).
PO∩CD = L,
PO∩AD = H
Точки К и Н лежат в плоскости передней грани. Прямая НК пересекает ребро АА₁ в точке Т
Точки К и L лежат в плоскости боковой грани. Прямая KL пересекает ребро СС₁ в точке R.
KROPT - искомое сечение.
4. Прямая MN пересекает ребро AD в точке O и ребро АВ в точке Р (картинка 4).
OP∩СD = Е,
OP∩ВС = F.
Точки E и К лежат в плоскости грани AA₁D₁D. Прямая EК пересекает ребро C₁D₁ в точке R и прямую CC₁ в точке Н.
Точки Н и F лежат в плоскости задней грани. Прямая HF пересекает прямую В₁С₁ в точке Т.
Если точка Т лежит на ребре В₁С₁, то прямая HF пересечет и ребро ВВ₁ в точке L (рис. 1)
и тогда KOPLTR - искомое сечение.
Если точка Т не лежит на ребре В₁С₁ (рис. 2), то надо провести прямую TR в верхней грани, которая пересечет ребро А₁В₁ в точке L.
KOPLR- искомое сечение в этом случае.
Если плоскость β пересекает прямую а, то она пересекает и параллельную прямой а прямую.
Итак, плоскость β пересекает прямую b, лежащую в плоскости α, значит имеет общую точку с плоскостью α, а значит пересекает плоскость α.