Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 12 см, а сторона основания равна 24 см. Вычисли двугранный угол при основании.
——————————————————
Основание правильной четырехугольной пирамиды – квадрат.
Все боковые грани правильной пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы, а высота проходит через центр основания, который является центром вписанной и описанной около основания окружностей.
Двугранный угол здесь образован радиусом вписанной окружности и апофемой, как отрезками. перпендикулярными ребру основания в одной точке (по т. о трех перпендикулярах).
Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны.
r=24:2=12 (см)
Соединив основание апофемы с центром основания ( основанием высоты пирамиды), получим прямоугольный треугольник.
При этом катеты- высота пирамиды и половина стороны основания - равны 12 см.
Следовательно, треугольник - равнобедренный. Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45º.⇒ Искомый угол равен 45º.
√17 см
Объяснение:
Дан трeугольник Δ ABC, где ∡В прямой. ВН-высота, ВМ медиана.
sin (∡HBM)= 15/17 => cos( ∡HBM)= sqrt(1-sin(∡HBM)^2)=sqrt(1-225/289)
cos(∡HBM) =8/17 (1)
∡HBM=α => ∡HMB=90-α =>∡BMC=90+α
BM-медиана в прямоугольном треугольнике=> ΔBMC- равнобедренный, ВМ=МС=> ∡MCB=∡MBC= (180-∡HMB)/2=45-α/2
=>∡HBC=α+45-α/2=45+α/2
=> ∡ABH= 90-∡HBC=45-α/2
=>AB=BH/cos(∡ABH) ; BC=BH/cos(∡HBC)
=>S(ABC)= AB*BC/2= BH*BH/(2*cos(45-α/2)*cos(45+α/2))
S(ABC)=BH²/(2*(cos45*cos(α/2)+sin45*sin(α/2))((cos45*cos(α/2)-sin45*sin(α/2)))=
=BH²/(2*(((cos45*cos(α/2))²-(sin45*sin(α/2))²)= BH²/(2*0.5*(cos(α/2)²-sin(α/2)²)))
S(ABC)=2=BH²/cosα
Воспользуемся (1) => получим
BH²/(8/17)=2
BH²=16/17
BH=4/√17
=>BM= BH/cosα=(4/√17):(8/17)=√17/2
Так как в прямоугольном треугольнике гипотенуза в 2 раза больше медианы, проведенной из вершины прямого угла, то
АС=ВМ*2= √17/2*2=√17 см
