Question

Восновании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с углом 15∘. все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основы под углом 60∘. радиус шара, описанного вокруг пирамиды, равен 6 см. вычислите объем пирамиды (в см3).

Answer 1

ЕАВС - пирамида, ∠С=90°, ∠В=15°.
Так как боковые рёбра наклонены к плоскости основания пирамиды под одним градусом, то основание высоты пирамиды лежит в точке описанной около основания окружности. 
Так как треугольник АВС прямоугольный, то центр описанной окружности лежит посередине гипотенузы. АМ=ВМ=СМ.
Пусть АМ=х, тогда АВ=2х.
В тр-ке ЕСМ ЕМ=СМ·tg60=х√3.

Центр шара, описанного около пирамиды, лежит на прямой ЕМ так как только точки этой прямой равноудалены от вершин тр-ка АВС. Поскольку СМ<ЕМ, то центр описанной окружности лежит между точками Е и М. Обозначим его точкой О. АО=ВО=СО=ЕО=6 см.
Пусть МО=у.
В тр-ке СМО СО²=СМ²+МО²=х²+у²=6².
ЕО=ЕМ-МО=х√3-у=6 ⇒ у=х√3-6, подставим это в первое уравнение:
х²+(х√3-6)²=36,
х²+3х²-12х√3+36=36,
4х²-12х√3=0,
4х(х-3√3)=0, х₁=0,
х-3√3=0,
х₂=3√3. 
В тр-ке АВС АМ=ВМ=СМ=3√3 см.
ВС=АВ·cos15.
Площадь тр-ка АВС: S=(1/2)АВ·ВС·sin15=(1/2)AB²·sin15·cos15=(AB²·sin30)/4.
S=(6√3)²/8=27/2 см².
Высота пирамиды: Н=ЕМ=х√3=3√3·√3=9 см.
Объём пирамиды:
V=SH/3=27·9/6=40.5 см³ - это ответ.