ответ: r=12 см
Объяснение: Обозначим данный треугольник АВС, ВМ - медиана, О - центр описанной окружности, ВК - диаметр.
Медиана равнобедренного треугольника к основанию является его высотой и биссектрисой.⇒ ВМ⊥АС.
Примем коэффициент отношения отрезков медианы равным а. Тогда ВО=25а, ОМ=7а.
∠КАВ – вписанный, ВК - диаметр, ⇒ ∆ ВАК прямоугольный, АМ - его высота. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между проекциями катетов на гипотенузу.⇒ АМ²=КМ•ВМ.
ОК=ОВ=25а - радиусы. ⇒ ВМ=ВО+ОМ=25а+7а=32а; МК= ОК-ОМ=25а-7а=18а. ⇒ АМ²=32а•18а=576а², откуда AM=√576a²=24a.
Из прямоугольного ∆ АВМ по т.Пифагора АМ²+ВМ²=АВ², т.е. 24а²+32а*=1600, откуда а=1 см.
Формула радиуса вписанной в треугольник окружности r=S/p, где Ѕ - площадь треугольника. р - его полупериметр. r=0,5•ВМ•АС:0,5(АВ+ВС+АС)=12 см
Пусть есть два треугольника ABC и A'B'C', углы A и A' равны, AB=A'B'; AC=A'C'. Докажем, что эти треугольники равны.
Будем накладывать эти треугольники. Сначала совместим точки A и A' и разместим треугольники так, чтобы лучи AB и A'B', а также лучи AC и A'C' оказали сонаправленными (это можно сделать, т.к. углы при вершине А равны)
Т.к. AB=A'B'; AC=A'C, то точки B и B', а также точки C и С' попарно совпадут. Но тогда совпадут и отрезки BC и B'C' - иначе через 2 точки проходило бы 2 прямые, что невозможно. Признак доказан.
Пусть прямая КМ - пересекает стороны угла А и отсекает трапецию ВКМС. Тогда KM||ВС. Следовательно, Δ АВС и Δ АКМ подобны по двум углам (равные углы показаны на чертеже).
Пусть АК=х, АМ=у. Тогда КВ=15-х, МС=20-у.
Из подобия треугольников следует равенство:
Получим систему:
Итак, KM=6+8-2=12 (см)
ответ: 12 см.