постарался объяснить максимально возможно
Объяснение:
По теореме о 3х перпендикулярах:
Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции этой наклонной на данную плоскость.
В данном случае MA⊥АК, так как MA⊥ABE (прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости).
Значит MK - наклонная, а АК - её проекция.
При этом, т.к. △АВЕ равносторонний, то медиана АК также является высотой, т.е. АК⊥ВЕ.
Получается, что ВЕ перпендикулярна проекции наклонной МК, значит по теореме о 3х перпендикулярах МК⊥ВЕ, чтд.
Рассмотрим ∆ АВD и ∆ СВЕ
Оба прямоугольные и имеют общий острые угол АВС.
Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.
Из подобия следует отношение
ВЕ:ВD=ВС:АВ⇒ВD•ВС=ВЕ•АВ ⇒
ВЕ:ВС=ВD:АВ
Две стороны ∆ ВЕD пропорциональны двум сторонам треугольника АВС, и угол между ними общий.
2-й признак подобия треугольников:
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Следовательно, ∆АВС и ∆ ВЕD подобны, что и требовалось доказать.
Можно добавить. что коэффициент подобия равен косинусу общего угла, т.к. отношение катетов ∆ СВЕ и ∆ АВД к их гипотенузам соответственно равны косинусу угла В треугольника АВС.
Объём призмы: V=Sh=h·a²√3/4 ⇒ a²=4V/h√3=4·18√3/8√3=9.
a=3 см - это ответ.