Question

Найти дифференциал функции: y=arccos(1/sqrt(1+2x^2)) x0=0

Answer 1

Для решения данной задачи нам необходимо найти дифференциал функции y=arccos(1/sqrt(1+2x^2)) и значение этого дифференциала при x0=0.

Шаг 1: Найдем производную функции y по x, применяя правило дифференцирования сложной функции.

Для этого воспользуемся формулой дифференцирования функции arccos(u), где u = 1/sqrt(1+2x^2):

(dy/dx) = -1/sqrt(1 - u^2) * (du/dx)

где (du/dx) - производная функции u по x.

Вычислим (du/dx):
du/dx = d(1/sqrt(1+2x^2))/dx

Для этого применим правило дифференцирования сложной функции:

du/dx = -1/2 * (1+2x^2)^(-3/2) * (d(1+2x^2)/dx)

Вычислим (d(1+2x^2)/dx):
d(1+2x^2)/dx = d(1)/dx + d(2x^2)/dx = 0 + 2 * (d(x^2)/dx)

Применим правило дифференцирования степенной функции:

d(x^2)/dx = 2x

Теперь, зная (du/dx), можем продолжить вычисление dy/dx:

(dy/dx) = -1/sqrt(1 - (1/sqrt(1+2x^2))^2) * (-1/2 * (1+2x^2)^(-3/2) * 2x)

(dy/dx) = x/sqrt(1 - 1/(1+2x^2)) * (1+2x^2)^(-3/2)

Шаг 2: Найдем значение dy/dx при x0=0.

Подставим x0=0 в полученное выражение для dy/dx:

(dy/dx) = x/sqrt(1 - 1/(1+2x^2)) * (1+2x^2)^(-3/2)

(dy/dx) = (0)/sqrt(1 - 1/(1+2(0)^2)) * (1+2(0)^2)^(-3/2)

(dy/dx) = 0

Таким образом, дифференциал функции y=arccos(1/sqrt(1+2x^2)) при x0=0 равен 0.