Решение: SABCD=EF*(AD+BC)/2=2000 PABCD=AB+BC+CD+AD=200 AB=CD (так как трапеция равнобедренная). Чтобы окружность можно было вписать в трапецию должно выполняться условие - суммы противоположных сторон трапеции должны быть равны, т.е. AD+BC=AB+CD AD+BC=2AB (т.к. AB=CD) Тогда: PABCD=AB+BC+CD+AD=AB+2AB+AB=4AB=200 AB=50 Значит, AD+BC=2*50=100 SABCD=EF*(AD+BC)/2=EF*100/2=EF*50=2000 EF=40 Проведем высоту BH, как показано на рисунке. BH=EF=40, так как BEFH - прямоугольник. AH=(AD-BC)/2 По теореме Пифагора: AB2=BH2+AH2 502=402+AH2 2500=1600+AH2 900=AH2 30=AH=(AD-BC)/2 60=AD-BC, вспомним, что AD+BC=100 60=AD-(100-AD) 60=AD-100+AD 160=2AD AD=80 Тогда BC=100-80=20 Рассмотрим треугольники AKF и CKE AF=AD/2=40 CE=BC/2=10 ∠AFK=∠CEK=90° ∠AKF=∠CKE (т.к. они вертикальные) По первому признаку подобия треугольников, данные треугольники подобны. Тогда, AF/CE=KF/KE 40/10=KF/KE 4=(EF-KE)/KE (вспомним, что EF=40) 4KE=40-KE 5KE=40 KE=8 ответ: KE=8
Сделаем рисунок. Так как окружность пересекает продолжения сторон АС и ВС, а точки N и М лежат на ней, углы DNЕ и DМЕ, опирающиеся на диаметр DE, - прямые, а угол DСЕ , вершина С которого находится внутри окружности, тупой. Поскольку точки D и Е - середины сторон АС и ВС, отрезок DЕ - средняя линия треугольника АВС и равен половине АВ DЕ=АВ:2=7 DС= АС:2=3 СЕ=ВС:2=5 Найдем величину угла DСЕ по т. косинусов. Вычисления давать не буду, ничего сложного в них нет. Главное, что найденный в результате косинус угла DСВ равен - 0,5, и это косинус 120°. Угол ЕСN, как смежный с углом ЕСD, равен 60°. Т.к. треугольник ЕСN прямоугольный, угол СЕN равен 90°-60°=30°. На том же основании угол СDМ =30° Оба эти угла опираются на дугу МN. На ту же дугу опирается центральный угол МОN. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный, вдвое больше него, ⇒ угол МОN=60°. Угол ЕСN - внешний угол при вершине С треугольника DЕС. Он равен 60°, сумма углов ЕDС и DЕС равна этому внешнему углу и равна 60°. Сумма половин углов СЕN и СDМ равна 2*(30°:2)=30°. Следовательно, сумма углов ЕDК+КЕD равна 60°+30°=90°. Отсюда угол DКЕ равен 180°-90°=90° Треугольник DKE- прямоугольный, две его вершины лежат на окружности, а половина гипотенузы - радиус этой окружности. Следовательно, этот треугольник вписан в окружность, и К, точка пересечения биссектрис углов МЕNи NDМ, лежит на этой окружности, что и требовалось доказать. —— Треугольник МОN - равноберенный, т.к. ОМ=ОN= радиусу. Если угол при вершине равнобедренного треугольника равен 60°, этот треугольник - равносторонний. МN равна радиусу окружности, т.е. равна половине ее диаметра DЕ МN=7:2=3,5 ------ [email protected]
