Так как все углы данного шестиугольника равны, он - выпуклый.
Сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле N=180°•(n-2), где n- количество его вершин.
N=180°•(6-2)=720°
Каждый из равных углов равен 720°:6=120°
Продлим стороны А1А2 и А4А2 до пересечения в точке В, и стороны А4А5 и А1А6 до пересечения в точке С.
Внешние углы при внутренних, равных 120°, равны 180°-120°=60°.
Тогда углы в ∆ А2ВА3 и ∆ А5СА6 - равны 60°, стороны ∆ А2ВА3 равны 5, стороны ∆ А5СА6 равны 8.
Внешний угол при вершине В=внутреннему углу А1=120°
Эти углы соответственные. Из равенства соответственных углов следует параллельность А4В║А1С.
Внешний угол при вершине В=внутреннему углу А4=120°.
Эти углы соответственные, из чего следует параллельность ВА1║А4С.
⇒ В четырехугольнике ВА4СА1 противоположные стороны параллельны. ВА4СА1 - параллелограмм, ⇒его противоположные стороны равны. Следовательно, ВА4=5+4=9
А1С=ВА4=9.
Сторона А1А6=9-А6С=9-8=1
Эту задачу можно решить методом аналитической геометрии.
Расположим заданный параллелепипед в прямоугольной системе координат точкой В в начале, ВА по оси Ох ВС по оси Оу.
Сечение пересекает боковые рёбра АА1 и СС1 посредине в точках М и К.
Координаты точек для плоскости ВКД1:
В(0; 0; 0), К(0; 4; 3) и Д1(4; 4; 6).
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - 0 y - 0 z - 0
0 - 0 4 - 0 3 - 0
4 - 0 4 - 0 6 - 0 = 0
x - 0 y - 0 z - 0
0 4 3
4 4 6 = 0
(x - 0) (4·6-3·4) - (y - 0) (0·6-3·4) + (z - 0) (0·4-4·4) = 0
12 x - 0 + 12 y - 0 + (-16) z - 0 = 0
12x + 12y - 16z = 0 или, сократив на 4:
3x + 3y - 4z = 0 .
Плоскость BCC1 - это плоскость zOy, её уравнение х = 0.
Угол между плоскостями определяется по формуле:
cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|
√(A1² + B1² + C1²) √(A2² + B2² + C2²).
Подставим значения:
cos α = |3·1 + 3·0 + (-4)·0|
√(3² + 3² + (-4)²) √(1² + 0² + 0²).
Получаем cos α = 3/√34 = 3√34/34.
Угол α = arc cos(3√34/34) = 59,036°.
AA1//CC1
A1D1//BC
B1A1//DC