В прямоугольном треугольнике АВС высота СН, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки, которые связаны следующими соотношениями: АС²=АВ*АН. (1) ВС²=АВ*ВН. (2)
1. Дано: АВ=12, tgA=BC/AC=3. Найти АН. ВС=3АС. Тогда по Пифагору АС²+9АС²=АВ² или 10АС²=144. АС²=14,4. Из (1) находим АН=14,4/12 = 1,2 ед. ответ: АН=1,2 ед.
2. Дано: АВ=24, tgA=BC/AC=1/7. Найти ВН. АС=7ВС. Тогда по Пифагору ВС²+49ВС²=АВ² или 50ВС²=576. ВС²=11,52. Из (2) находим ВН=11,52/24 = 0,48 ед. ответ: ВН=0,48 ед.
Дано : ABCD - параллелограмм Пусть ∠A =∠C _острые углы ; AB =BD = 8 ; AC =8√2 .
S(ABCD) -?
Пусть O точка пересечения диагоналей AC и BD. S(ABCD) =4*S(∆ ABO) . * * *т.к. диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам* * * Треугольник ABO определен однозначно по трем сторонам и его площадь можно вычислить разными например, по формуле Герона: S(∆ABO) = √p( p-a)(p-b)(p-c) , где p=(a +b+c)/2 _полупериметр . * * *a =AO = AC/2 =4√2 , b=BO =BD/2 =4, c =AB=8 , p =6+2√2 * * * S(∆ABO)=√(6+2√2)(6-2√2)(2√2+2)(2√2-2)=4√(3+√2)(3-√2)(√2+1)(√2+1)=4√7. S(ABCD) =4*S(∆ ABO) =4*4√7=16√7 кв.ед.
Второй
Для параллелограмма : 2(AB² +AD²) =AC²+BD² ; 2(8² +BC²) = (8√2)² +8² ⇒ AD =4√2 . S(ABCD) =AD*h,а высоту h удобно определить из равнобедренного ΔABD . h = √(AB² -(AD/2)²) =√(8² -(2√2)²) =2√2 *√7.
Доказывать будем опираясь на признак параллелограмма (если у четырехугольника противолежащие стороны попарно параллельны, то это параллелограмм). Доказательство: 1) тр АВЕ = тр СДК (по двум сторонам и углу м/д ними), т к в них АВ=СД (АВСД- пар-мм) АЕ=СК ( по условию) уг КСД= уг ЕАВ как внутр накрестлежащие при AB||СД и секущ АС следовательно ВЕ=ДК 2) тр АЕД = тр СКВ (по двум сторонам и углу м/д ними), т к в них АД=СВ (АВСД- пар-мм) АЕ=СК ( по условию) уг ЕАД= уг КСВ (как внутр накрестлежащие при AД||СВ и секущ АС следовательно ВК=ДЕ 3) ЕВКД - параллелограмм по признаку из пп. 1;2
АС²=АВ*АН. (1)
ВС²=АВ*ВН. (2)
1. Дано: АВ=12, tgA=BC/AC=3. Найти АН.
ВС=3АС. Тогда по Пифагору АС²+9АС²=АВ² или 10АС²=144.
АС²=14,4. Из (1) находим АН=14,4/12 = 1,2 ед.
ответ: АН=1,2 ед.
2. Дано: АВ=24, tgA=BC/AC=1/7. Найти ВН.
АС=7ВС. Тогда по Пифагору ВС²+49ВС²=АВ² или 50ВС²=576.
ВС²=11,52. Из (2) находим ВН=11,52/24 = 0,48 ед.
ответ: ВН=0,48 ед.