Нe задача конечно оригинальная :) Она даже первое время вызвала у меня затруднения :) 1) Проведем серединный перпендикуляр к стороне AB. Получим точку T в пересечении с прямой a. 2) Треугольник ATB-равнобедренный тк NT высота и медиана. 3) А теперь внимание: Опишем около треугольника ATB окружность :) (Это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам) Обозначим F-отличную от T точку пересечения окружности с прямой a. Так в чем же собственно говоря все прелесть: Тк хорды AT=TB,то и дуги AT и TB равны. То есть вписанные углы AFT и BFT опираются на равные дуги. То по сути эти углы равны :) То FT -биссектриса AFB. Построение завершено прощения что заменил С на F cуть от этого не изменилась) Замечание: Хочу сказать что данная задача не разрешима когда отрезок AB перпендикулярен прямой A и не делится этой прямой пополам. Тк если бы такая точка существовала,то вышло бы что высота и биссектриса,то треугольник равнобедренный,то она и медиана. НО данный отрезок не делится данной точкой пополам. Это в принципе и логично. Тк в этом и только в этом случае серединный перпендикуляр будет параллелен прямой a. Если же AB перпендикулярна a и делится этой прямой пополам. То все точки на прямой будут удовлетворять условию задачи. Это особенный случай. Я не мог его не упомянуть. Задание интересное во всех отношениях :)
Треугольники AOD и COB подобны. Далее, очень легко построить треугольник, подобный этим треугольникам, площадь которого равна площади трапеции. Из точки C проводится прямая CE II BD до пересечения с продолжением AD в точке E. Треугольник ACE имеет ту же высоту, что и трапеция (собственно, у них общая высота - расстояние от точки C до AD). Поскольку DBCE - параллелограмм, то AE = AD + DE = AD + BC; То есть площадь треугольника ACE равна площади S трапеции ABCD; Треугольник ACE подобен AOD и COB по построению (у них, к примеру, равны все углы). Площади подобных треугольников пропорциональны квадратам соответственных сторон. То есть СУЩЕСТВУЕТ такое число k, что AD = k*√25; BC = k*√16; AD + BC = k*√S; Отсюда √S = √25 + √16 = 9; S = 81;
