В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = АС•√2, BC = 6. Найдите высоту CН. По т.Пифагора АВ²=АС²+ВС² АВ²-АС²=ВС² Примем АС=а. Тогда гипотенуза АВ=а√2. 2а²-а²=36⇒ а=√36=6 a√2=6√2 АС=ВС - треугольник равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота из прямого угла=0,5 гипотенузы ( по свойству медианы из прямого угла). СН =(6√2):2=3√2
Иногда эту высоту требуется записать в ответе как √2CH. Тогда, так как √2•3•√2=6, в ответе пишется 6.
Что-то не так. Во-первых, опечатка - не призма, а пирамида. Во-вторых, она должна быть 4-угольной, потому что 4 угла куба не могут лежать на трех апофемах треугольной пирамиды. Значит, считаем, что это 4-угольная правильная пирамида. В основании квадрат. В пирамиду вписан куб так, что 4 нижних вершины лежат на основании, а 4 верхних на апофемах (высоты боковых граней). Я сделал рисунок. Там много линий, и чтобы разобраться, я нарисовал апофемы красным, куб синим, а высоту пирамиды жирным черным. Нижние вершины куба лежат на средних линиях основания KM и LN. Справа я нарисовал сечение пирамиды плоскостью SLN. В сечении будет равнобедренный треугольник, а в него вписан прямоугольник PRR1P1, у которого высота PP1 = RR1 = x - стороне куба, а основание PR = P1R1 = x√2 - диагонали грани куба. Теперь решаем задачу. Сторона основания пирамиды а, диагональ AC = BD = a√2, OC = a√2/2, угол наклона бокового ребра α. В треугольнике AOS катет OS=H=AO*tg α=a*√2/2*tg α. В треугольнике LOS катет OL = a/2, по теореме Пифагора SL^2 = OL^2 + OS^2 = a^2/4 + a^2/2*tg α = a^2/4*(1 + 2tg α) SL = a/2*√(1 + 2tg α) Угол наклона апофемы к плоскости основания OLS = β: tg β = OS/OL = (a*√2/2*tg α) : (a/2) = √2*tg α В треугольнике RR1L катет RL = RR1/tg β = x/(√2*tg α) = x√2/(2tg α) Но мы знаем, что PR = x√2 и NP = RL. Получаем NL = NP + PR + RL a = 2*x√2/(2tg α) + x√2 = x√2/tg α + x√2
