Пусть х и у - длины смежных сторон искомого прямоугольника. Обозначим d - его диагональ, p - полупериметр. Тогда x+y=p и x²+y²=d². Т.е. х и у - абсцисса и ордината точки пересечения прямой и окружности, заданных этими уравнениями. Поэтому процесс построения выглядит так: 1) Строим прямой угол с вершиной О (он задает оси декартовой системы координат). 2) Строим окружность с центром в О и радиуса d (ее уравнение x²+y²=d²). 3) На сторонах прямого угла отмечаем точки A и B на расстоянии p от точки О и проводим прямую AB (уравнение этой прямой x+y=p. Заметим также, что ∠OAB=45°). Пусть C - какая-нибудь точка пересечения этой прямой с окружностью. 4) Опускаем перепендикуляр CD на ОА, и перпендикуляр CE на OB. Тогда прямоугольник OECD - искомый. Действительно, его диагональ OC равна радиусу окружности, т.е.равна d. Его полупериметр равен EC+CD=OD+DA=OA=p, т.к. CD=DA, поскольку ∠OAB=45°.
Точки касания вписанной в квадрат окружности делят сторону квадрата пополам. Найдем АЕ по Пифагору. АЕ=√(a²+a²/4) = a√5/2. Свойство касательной и секущей, проведенной из одной точки к окружности: "Если из внешней точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью". В нашем случае: АР²=АЕ*АК или (a²/4)=(a√5/2)*АК, отсюда АК=а/(2√5)=а√5/10. КЕ=АЕ-АК=a√5/2 - а√5/10 = 4а√5/10 = 0,4√5*а.
s=6*8/2
s=24