S(amb)=S(bmc) => S(amb = 1/2 S(abc)
Ak - медиана треугольника AMB, так как BK=KM
S(abk)=S(amk)=1/2 S(abm) = 1/4 S(abc)
Проведем ML параллельно AP
ML - средняя линия ACP (так как ML параллельна AP и AM=MC) =>PL=LC
KP - средняя линия BMP=>PL=PB
PL=LC; PL=PB =>PL=LC=PB
S(bkp)/ S(mbc)= 1/2* sinB * BK* BP/1/2* sinB * BM*BC ( при этом мы знаем, что BK=1/2 BM и BP = 1/3 BC)=> S(bkp)/ S(mbc)=1/6
S(bkp)/ S(mbc)=1/6 => S(cmkp)/ S(mbc)=5/6 => S(cmkp)/ S(abc) = 5/12
S(mbc)/S(cmkp) = 1/4 S(abc)/ 5/12S(abc)= 3/5
P.s решение от krosch5.
Вроде так:
Обозначения:
S(abk)= s, s(bkp) = s1, s(kpcm)=s2, AB=x ⇒ AC=3x.
Рассматриваем треугольники ABK, AKM:
АМ=3х/2=3/2*х (т.к. ВМ - медиана).
У этих двух трегуольников есть одна вершина и основания лежат на одной прямой, значит, отношение их площадей будет равно отношению оснований ВК и КМ (доказывается с проведенной на эти основания высоты, она будет совпадать, при соотношении площадей сократится).
Т.к. АР - биссектриса, то и АК является биссектрисой угла А.
По свойству биссектрисы:
Тогда S (abm) = s+3/2 *s = 5/2*s
Медиана треугольника делит его на два равновеликих, т.е. S(abm)= S(bmc) = 5/2*s.
S(bmc)=s1+s2=5/2*s - запоминаем это выражение (*)
Теперь рассматриваем трегуольники АВР и АРС:
По тому же свойству биссектрисы и свойству про площади получаем:
3s+3s1= 3/2*s+s2
3/2*s=s2-3s1.
Теперь составляем с выражением (*) систему:
s1+s2=5/2*s, s2-3s1=3/2*s.
Домножаем первое уравнение на 3 и складываем их:
3s1+3s2=15/2*s, s2-3s1=3/2*s
4s2=18/2*s
4s2=9s
s2=9/4*s.
Теперь:
