Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, высота трапеции равна полусумме оснований. S=1/2(a+b)*h=126cm^2, (a+b):2=√126=3√14
Полусумма оснований - это и есть средняя линия, т.к средняя линия равна высоте в нашем случае, то можно сказать, что площадь равна средней линии в квадрате. У нас площадь дана, тогда средняя линия равна корню из этой площади. Так понятнее?
1) Треугольник BCD - прямоугольный с гипотенузой 10 и катетом 8. Тогда второй катет равен 6 (из теоремы Пифагора). Площадь треугольника равна полупроизведению высоты на основание: S = BD * AC / 2 = 6 * 14 / 2 = 42 (см²). Проведём высоту к BC (AH). S = BC * AH / 2, AH = 2 * S / BC = 84 / 10 = 8.4 (см)
2) Из теоремы Пифагора для треугольника ABD найдём катет: AD = 8 см. Площадь треугольника ABC равна AD * BC / 2 = 14 * 8 / 2 = 56 (см²) Аналогично найдём высоту к AB (CL): S = CL * AB / 2, CL = 2 * S / AB = 112 / 10 = 11,2 (см)
Пусть треугольник ABC: AB = BC ; AA₁ , BB₁ и CC₁ медианы данного треугольника; O точка пересечения медиан. OM⊥AB, ON ⊥ CB. OM= ON =8 . Ясно что OB₁ ⊥ AC ( медиана BB₁ одновременно и высота) . OB₁ =5. На рисунке достаточно показать ΔABC, медиана BB₁ и OM ⊥AB). OB =2*OB₁ =2*5 =10 ; BB₁ =3*OB₁=3*5=15.(свойство медиан). Из ΔBMO по теореме Пифагора : BM =√(BO² -OM²) =√(10² -8²) =6. (BMO Пифагорова Δ: 2*3 ;2*4 ;2*5) ΔBB₁A ~ ΔBMO ⇒BB₁/BM=BA/BO =AB₁/OM. 15/6 =BA/10 =AB₁/8 ⇔{15/6 =BA/10 ;15/6=AB₁/8 . ⇒BA=25 ; AB₁ =20 . AC =2*20 =40.
Подробно.
Обозначим трапецию АВСD. BC║AD, AB=CD.
Проведем из вершины С прямую, параллельную ВD, до пересечения с продолжением АD в точке К.
Противоположные стороны четырехугольника АСКD лежат на параллельных прямых, поэтому параллельны. АВСD – параллелограмм и DK=BC =>
АК=АD+BC.
По условию АС⊥ВD, поэтому угол АСК равен соответственному ему углу АОD.
∠АСК=90°.
Диагонали равнобедренной трапеции равны.
Треугольник АСК - прямоугольный равнобедренный. .
Высота равнобедренного треугольника в нем и медиана и равна половине гипотенузы:
СН=АК:2.
Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований ( на среднюю линию)
126=CH•(BC+AD):2
Из найденного выше (BC+AD):2=CH, то
126=CH²=>
CH=√126=3√14 см
Из найденного выше средняя линия равнобедренной трапеции с взаимно перпендикулярными диагоналями равна её высоте.
ответ:3√14 см