Question

Напишите уравнение окружности, симметричной относительно точки а (−1; 3) окружности, заданной уравнением х2 + у2 − 4х + 6у = 0. ответ: х2 + у2 + 8х − 18у + 84 = 0. можно решение

Answer 1

Уравнение окружности:
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$
где точка $(x_0;\ y_0)$ - центр окружности,
и $R$ - её радиус

$x^2+y^2-4x+6y = 0\\\\ x^2-4x+4+y^2+6y+9=4+9\\\\ (x-2)^2+(y+3)^2=13\\\\$

т.е. координаты центра этой окружности: $(2;\ -3)$

симетричная относительно точки A окружность - это окружность с симетричным относительно этой точки центром:
старый центр $O(x_0;\ y_0)$ точка $A(-1;\ 3)$ и новый центр $O_1(x_1;\ y_1)$ лежат на одной прямой, при чем $OA=AO_1$, т.е. точка $A$ - средина отрезка $OO_1$,

тогда:
$x_A=-1=\frac{x_0+x_1}{2}\\\\ -1=\frac{2+x_1}{2}\\\\ -2=2+x_1\\\\ x_1=-4\\\\ -------------------\\\\ y_A=3=\frac{y_0+y_1}{2}\\\\ 3=\frac{-3+y_1}{2}\\\\ 6=-3+y_1\\\\ y_1=9$

т.е. у искомой окружности координаты центра $O_1(-4;\ 9)$ и $R^2=13$

т.е. её уравнение:
$(x-(-4))^2+(y-9)^2=13\\\\ (x+4)^2+(y-9)^2=13\\\\ x^2+8x+16+y^2-18y+81=13\\\\ x^2+y^2+8x-18y+84=0$