Высоты трапеции равны: ВЕ = СК → ВЕ² = СК² – х² + 105 – 16х = – x² – 151 + 48x 48х + 16х = 151 + 105 64х = 256 х = 4 см Значит, АЕ = 4 см , ЕК = 8 см, КD = 12 см. Также можно заметить, что АК = KD = 12 см. Значит, ∆ ACD – равнобедренный, где AC = CD = 13 см, CK – высота, медиана, биссектриса.
Рассмотрим ∆ АСК (угол АКС = 90°): По теореме Пифагора: СК² = 13² – 12² = 169 – 144 = 25 Значит, СК = ВЕ = 5 см.
Хорошая задача, потому что можно получить лишнее решение, если не быть внимательным.
Пусть две стороны a, третья a-26. Если третью сторону увеличить на 26, все стороны будут равны a, а в сумме они будут давать 126. Делим 126 на три: a=42; a-26=16
Пусть одна сторона a, две другие a-26. Если первую сторону уменьшить на 26, все стороны будут равны, их сумма 74; a-26=74/3; a=152/3.
Второй ответ лишний, так как сумма двух маленьких сторон меньше большой, поэтому треугольника с такими сторонами не существует.
Точки касания поверхности сферы и плоскостей ASB, BSC и ASC - это точки касания касательных к поверхности шара, проведённых из точки S. Все касательные к сфере, проведённые из одной точки, равны. В нашем случае это 4√3 см. Касательная и радиус окружности, проведённый к точке касания, перпендикулярны, значит достаточно рассмотреть один прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара ОМ, касательной SM и искомым расстоянием SО, где SO²=SM²+ОМ².
Площадь сферы: S=4πR² ⇒ R=√(S/4π)=√(64π/4π)=4 см. SO²=(4√3)²+4²=64, SO=8 см - это ответ.
Построение можно представить в виде перевёрнутой правильной треугольной пирамиды без основания в которую поместили шар, касающийся своей поверхностью боковых граней пирамиды.
Проведём две высоты ВЕ и СК на AD, тогда ВС = ЕК = 8 см.
Пусть АЕ = х → ED = AD – AE = 24 – x
Рассмотрим ∆ АСК (угол АКС = 90°):
По теореме Пифагора:
АС² = АК² + СК²
СК² = 13² – ( х + 8 )² = 169 – ( х² + 16х + 64 ) = 169 – х² – 16х – 64 = – х² + 105 – 16х
Рассмотрим ∆ BDE (угол BED = 90°):
По теореме Пифагора:
BD² = BE² + ED²
BE² = ( 5√17 )² – ( 24 – x )² = 25·17 – ( 576 – 48x + x² ) = 425 – 576 + 48x – x² = – x² – 151 + 48x
Высоты трапеции равны: ВЕ = СК →
ВЕ² = СК²
– х² + 105 – 16х = – x² – 151 + 48x
48х + 16х = 151 + 105
64х = 256
х = 4 см
Значит, АЕ = 4 см , ЕК = 8 см, КD = 12 см.
Также можно заметить, что АК = KD = 12 см. Значит, ∆ ACD – равнобедренный, где AC = CD = 13 см, CK – высота, медиана, биссектриса.
Рассмотрим ∆ АСК (угол АКС = 90°):
По теореме Пифагора:
СК² = 13² – 12² = 169 – 144 = 25
Значит, СК = ВЕ = 5 см.
Площадь трапеции равна:
S abcd = ( 1/2 ) · ( BC + AD ) · CK = ( 1/2 ) · ( 8 + 24 ) · 5 = ( 1/2 ) · 32 · 5 = 16 · 5 = 80 см²
ОТВЕТ: S abcd = 80 см².