Даны два угла с общей вершиной, один вне другого. стороны одного угла перпендикулярны к сторонам другого. найти каждый из них, если один вдвое больше другого.
Если достроим прямоугольный треугольник до прямоугольника так, чтобы гипотенуза была его диагональю (то есть присоединим к треугольнику второй такой же точно), то площадь такого прямоугольника будет ровно в 2 раза больше площади треугольника, то есть 2 * 512 * корень(3) = 1024*корень(3).
А также площадь прямоугольника равна произведению катетов. Обозначим меньший катет буквой х, тогда больший будет х*tg(x) = x*корень(3).
Итого, имеем площадь прямоугольника х*х*корень(3) = 1024*корень(3).
Корень(3) сокращаем, остаётся х*х = 1024. Отсюда х = корень(1024) = 32.
Пусть D, E и F - точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника АВС: АС, АВ и ВС соответственно. Нам дано: АВ=30см, ВF=14см, FC=12см. Заметим, что ВЕ=ВF=14см, DC=FC=12см, а АЕ=АD как касательные, проведенные из одной точки к окружности. Тогда АЕ=АВ-ВЕ=30-14=16см, значит АD=16см. DC=FC=12см. Значит АС=AD+DC=16+12=28см. Полупериметр треугольника равен: р=(30+26+28):2=42см. Есть формула для вписанной в треугольник окружности: r=√[(p-a)(p-b)(p-c)/р], где р - полупериметр, а, b, c - стороны треугольника. В нашем случае: r=√(12*16*14/42)=√64=8см. ответ: r=8см. Или по формуле r=S/p, где S - площадь треугольника. Площадь найдем по формуле Герона: S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] или в нашем случае: S=√(42*12*16*14)=√(6*7*2*6*16*2*7)=6*7*2*4=336см². r=336/42=8см. ответ: r=8см.
АО⊥МО , ВО⊥NO
Один угол АОВ=х , второй угол MON=2х .
х+90°+2х+90°=360°
3х=180°
х=60°
∠АОВ=60° , ∠MON=2*60°=120°