Question

Задание: Определите с таблиц истинности, какие из следующих формул являются тождественно истинными или тождественно ложными:
1. Ø(a^Øа)vbv(a^bvb)
2. ((av Øb)®b)^(Øavb)
3. Øa^b«(Øa vØb)
4. a^(b^(Øav Øb))
5. Ø((Øavb)^(Øbvc))v Øavc
6. Ø((a®b)«(Ø b® Øa)

Answer 1

Здравствуйте!

Для решения этой задачи, нам необходимо построить таблицы истинности для каждой из данных формул. Таблица истинности - это способ представления всех возможных комбинаций значений переменных и значения их выражений.

Для удобства, вспомним некоторые базовые законы логики:

1. Закон двойного отрицания: ØØa = a
2. Закон идемпотентности: a va = a
3. Закон исключения третьего: a vaØa = 1
4. Закон тождества: a ^ 1 = a
5. Закон противоречия: a ^ Øa = 0
6. Закон идемпотентности: a va = a

Теперь приступим к решению:

1. Формула: Ø(a^Øa)vbv(a^bvb)
- Переменные: a, b
- Разложим формулу по шагам:
1. Ø(a^Øa) = Ø(0) = 1
2. a^bvb = avb = a
- Построим таблицу истинности:

| a | b | a^b | Ø(a^Øa) | Ø(a^Øa)vbv(a^bvb) |
|---|---|-----|---------|-------------------|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |

- В таблице видно, что независимо от значений переменных a и b, выражение Ø(a^Øa)vbv(a^bvb) всегда будет истинно, поэтому данная формула является тождественно истинной.

2. Формула: ((av Øb)®b)^(Øavb)
- Переменные: a, b
- Разложим формулу по шагам:
1. avØb = a^b = 0
2. (av Øb)®b = 0®b = 1^b = b
3. Øavb = Ø0 = 1
- Построим таблицу истинности:

| a | b | avØb | (av Øb)®b | Øavb | ((av Øb)®b)^(Øavb) |
|---|---|------|-----------|------|------------------|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |

- В таблице видно, что значение выражения ((av Øb)®b)^(Øavb) зависит от значений переменных a и b и не является тождественно истинным или тождественно ложным.

3. Формула: Øa^b«(Øa vØb)
- Переменные: a, b
- Разложим формулу по шагам:
1. Øa = Øa = 1
2. Øa vØb = 1 v 1 = 1
3. Øa^b«(Øa vØb) = 1^b«1 = b«1 = b
- Построим таблицу истинности:

| a | b | Øa | Øa vØb | Øa^b«(Øa vØb) |
|---|---|----|--------|---------------|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |

- В таблице видно, что значение выражения Øa^b«(Øa vØb) зависит от значений переменных a и b и не является тождественно истинным или тождественно ложным.

4. Формула: a^(b^(Øav Øb))
- Переменные: a, b
- Разложим формулу по шагам:
1. Øav Øb = 0v0 = 0
2. b^(Øav Øb) = b^0 = 0
3. a^(b^(Øav Øb)) = a^0 = 0
- Построим таблицу истинности:

| a | b | Øav Øb | b^(Øav Øb) | a^(b^(Øav Øb)) |
|---|---|--------|------------|----------------|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |

- В таблице видно, что значение выражения a^(b^(Øav Øb)) не зависит от значений переменных a и b и является тождественно ложным.

5. Формула: Ø((Øavb)^(Øbvc))v Øavc
- Переменные: a, b, c
- Разложим формулу по шагам:
1. Øavb = Øa = 1
2. Øbvc = Øb = 1
3. (Øavb)^(Øbvc) = (1^1) = 1
4. Ø((Øavb)^(Øbvc)) = Ø1 = 0
5. Øavc = Øa = 1
6. Ø((Øavb)^(Øbvc))v Øavc = 0v1 = 1
- Построим таблицу истинности:

| a | b | c | Øavb | Øbvc | (Øavb)^(Øbvc) | Ø((Øavb)^(Øbvc)) | Øavc | Ø((Øavb)^(Øbvc))v Øavc |
|---|---|-----|------|------|---------------|------------------|------|-----------------------|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |

- В таблице видно, что выражение Ø((Øavb)^(Øbvc))v Øavc является тождественно истинным, так как значение этого выражения всегда равно 1 независимо от значений переменных a, b и c.

6. Формула: Ø((a®b)«(Ø b® Øa)
- Переменные: a, b
- Разложим формулу по шагам:
1. Øa = Øa = 1
2. Øb = Øb = 1
3. Ø b® Øa = 1® 1 = 1
4. (a®b)«(Ø b® Øa) = (ab)^1 = ab
5. Ø((a®b)«(Ø b® Øa) = Øab = 1
- Построим таблицу истинности:

| a | b | Øa | Øb | Ø b® Øa | (a®b)«(Ø b® Øa) | Ø((a®b)«(Ø b® Øa)) |
|---|---|----|----|---------|----------------|-------------------|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |

- В таблице видно, что данное выражение Ø((a®b)«(Ø b® Øa)) не является ни тождественно истинным, ни тождественно ложным.

Таким образом, получаем следующие результаты для каждой из данных формул:

1. Ø(a^Øа)vbv(a^bvb) - тождественно истинная.
2. ((av Øb)®b)^(Øavb) - не является ни тождественно истинной, ни тождественно ложной.
3. Øa^b«(Øa vØb) - не является ни тождественно истинной, ни тождественно ложной.
4. a^(b^(Øav Øb)) - тождественно ложная.
5. Ø((Øavb)^(Øbvc))v Øavc - тождественно истинная.
6. Ø((a®b)«(Ø b® Øa) - не является ни тождественно истинной, ни тождественно ложной.

Надеюсь, что данное объяснение помогло вам понять, как определить, являются ли данные формулы тождественно истинными или тождественно ложными с помощью таблиц истинности. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.