Question

9. Докажите, что:
а) прибавив к произведению двух последовательных натуральных
большее из них, получим квадрат большего числа;
б) разность кубов двух последовательных целых чисел на 3 не делится,
В) при делении квадрата нечётного числа на 8 в остатке остаётся 1.
Доказательство каждого предложения обоснуйте на примерах.
10. Выполняя представленный ниже алгоритм, разложите многоч.
жите многочлен 3а2 + 6а - 9
на множители.
1 и осного опонена р есите по екоби обиий множитель 3:

Answer 1

Пошаговое объяснение:

возьмем число n ∈ N запишем произведение этого числа следующего за ним(n+1). Затем прибавим к произведению большее из этой пары:

a) n*(n+1)+n+1=n^2+2+n+1=(n+1)^2

пример: числа 6 и 7

6*7+7=49 и 7^2=49

б) n^3 - (n+1)^3=n^3-(n^+3n^2+3n+1)=n^3-n^3-3n^2-3n-1=

=3n^2+3n+1=3n(n+1)+1

[3n(n+1)+1] :3=n(n+1)+1/3

т.е. при делении на 3 получаем остаток 1. Следовательно: число не делится на три нацело.

Пример: числа 5 и 6

5^3=125; 6^3=216 216-125=91 91:3=30 и 1 в остатке

в) Нечетное число запишем, как 2n+1, где n ∈ N, тогда:

(2n+1)^2=4n^2+4n+1=4n(n+1)+1

[4n(n+1)+1]:8=[4n(n+1)+1]:4:2

Число n(n+1) – всегда четное, т.е. делится на 2 без остатка, т.е. число 4n(n+1) делится на 4*2 без остатка, а в остатке 1!

Пример: число 7 (нечетное); 7^2=49; 49:8=6*8 ост.1.