Question

К окружности радиусом 6см. проведены касательные от точки А, находящейся на расстоянии 10 см. от центра окружности (рис. 1). ВАС =60°. Найти отрезки АВ и АС.

Answer 1

Добрый день! Рад, что вы обратились за помощью. Давайте решим эту задачу пошагово.

1) Нам дана окружность радиусом 6 см. Пусть центр окружности обозначим буквой O, а точку касания касательных с окружностью - точкой M (рис. 2).

O
/ \
/ \
/ \
M· \
| |
\ /
\ /
\ /
A·

2) Также нам дано, что точка А находится на расстоянии 10 см от центра окружности O и образует угол ВАС, равный 60°.

3) Нам нужно найти отрезки АВ и АС. Для этого мы можем воспользоваться свойствами касательных к окружности.

4) Сначала найдем отрезок АМ и отрезок ОМ. По свойству касательной, отрезок АМ является радиусом окружности. Значит, АМ = 6 см.

5) Отрезок ОМ является высотой равнобедренного треугольника АОМ. Поскольку треугольник АОМ равнобедренный, высота ОМ перпендикулярна к основанию АМ и делит его пополам. Значит, ОМ = АМ/2 = 6/2 = 3 см.

6) Так как АМ = 6 см, то АО = АМ + ОМ = 6 + 3 = 9 см.

7) Теперь мы можем найти отрезки АВ и АС. Они равны соответственно АО + ОВ и АО + ОС.

8) Отрезок ОВ является радиусом окружности, противоположным катету ВМ прямоугольного треугольника ВМО. По теореме Пифагора, ВО^2 = АО^2 - АМ^2. Подставляем значения: ВО^2 = 9^2 - 6^2 = 81 - 36 = 45. Тогда ОВ = √45 см.

9) Отрезок АВ = АО + ОВ = 9 + √45 см.

10) Отрезок АС также можно найти по теореме Пифагора. Сначала найдем отрезок СМ, который является радиусом окружности, противолежащим углу ВСА в прямоугольном треугольнике ВСМ. СМ = √(АМ^2 - МО^2) = √(6^2 - 3^2) = √(36 - 9) = √27 см.

11) Отрезок СА = АО + ОА = 9 + 10 = 19 см.

12) Отрезок АС = СА - СМ = 19 - √27 см.

Таким образом, отрезок АВ равен 9 + √45 см, а отрезок АС равен 19 - √27 см.