Question

Y''tgy=2(y')^2, y(1)=pi/2, y'(1)=2 Решите задачу Коши для дифференциального уравнения, допускает снижение порядке

Answer 1

Чтобы решить данную задачу Коши для дифференциального уравнения, допускающего снижение порядка, нужно выполнить следующие шаги:

1. Начнем с исходного дифференциального уравнения: Y''tgy = 2(y')^2.

2. Для снижения порядка умножим обе части уравнения на y'.

Y''tgy * y' = 2(y')^2 * y'.

3. Теперь, введя новую переменную u = Y', можем переписать уравнение в виде:

(u * u') * u = 2(u^2) * u'.

4. Перегруппируем члены уравнения:

(u^2) * u' - 2(u^2) * u' = 0.

5. Возьмем u' в скобки и сократим общий множитель:

(u^2 - 2u^2) * u' = 0.

6. Раскроем скобки:

-u^2 * u' = 0.

7. Так как уравнение равно нулю, то видим, что либо -u^2 = 0, либо u' = 0.

8. Рассмотрим первое возможное решение -u^2 = 0:

Это уравнение сводится к u = 0. Для этого случая, учитывая, что u = Y', получаем, что Y' = 0.

Интегрируя это выражение, получим Y = C1, где C1 - произвольная константа.

9. Рассмотрим второе возможное решение u' = 0:

Это уравнение означает, что производная u по переменной t равна нулю, то есть u - постоянная.

Тогда, учитывая, что u = Y', получим Y' = C2, где C2 - произвольная константа.

Интегрируя это выражение, получим Y = C2 * t + C3, где C3 - еще одна произвольная константа.

10. Таким образом, мы получили два решения: Y = C1 и Y = C2 * t + C3.

11. Теперь рассмотрим начальные условия y(1) = pi/2 и y'(1) = 2:

Подставим x = 1 в уравнения Y = C1 и Y = C2 * t + C3 и приравняем соответствующие значения к начальным условиям.

Из уравнения Y = C1 получим C1 = y(1) = pi/2.

Из уравнения Y = C2 * t + C3 получим C2 * 1 + C3 = y(1) = pi/2.

12. Теперь решим полученную систему уравнений для нахождения констант C2 и C3:

C2 + C3 = pi/2.

13. У нас нет дополнительной информации, чтобы однозначно найти значения C2 и C3, поэтому выберем их произвольно.

14. Пусть C2 = 0 и C3 = pi/2:

Тогда Y = C2 * t + C3 = 0 * t + pi/2 = pi/2.

15. Таким образом, решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения с возможностью снижения порядка:

Y = pi/2.