Question

Дифференциальное уравнение Дифференциальное уравнение

Answer 1

$(3x - 4y)y' = 4x + 3y$

$y' = \dfrac{4x + 3y}{3x - 4y}$

Пусть $f(x,y) = \dfrac{4x + 3y}{3x - 4y}$

Тогда $f(\lambda x,\lambda y) = \dfrac{4\lambda x + 3\lambda y}{3\lambda x - 4\lambda y} = \dfrac{4x + 3y}{3x - 4y} = f(x,y)$

Имеем дифференциальное уравнение, однородное относительно переменных.

Подстановка: $y = ux, \ y' = u'x + u,$ где $u = u(x)$

Тогда исходное уравнение примет вид:

$u'x + u = \dfrac{4x + 3ux}{3x - 4ux}$

$x \cdot \dfrac{du}{dx} = \dfrac{4 + 3u}{3 - 4u} - u$

$x \cdot \dfrac{du}{dx} = \dfrac{4 + 4u^{2}}{3 - 4u}$

$\dfrac{3 - 4u}{4 + 4u^{2}}du = \dfrac{dx}{x}$

$\displaystyle \int \dfrac{3 - 4u}{4 + 4u^{2}}du = \int \dfrac{dx}{x}$

$1) \ \displaystyle \int \dfrac{3 - 4u}{4 + 4u^{2}}du = \dfrac{3}{4} \int \dfrac{du}{1 + u^{2}} - \dfrac{1}{2} \int \dfrac{2u}{1 + u^{2}}d(1 +u^2) = \\= \dfrac{3}{4}\, \text{arctg}\, u - \dfrac{1}{2} \ln |1 + u^{2}| + C$

$2) \displaystyle \int \dfrac{dx}{x} = \ln |x| + C$

$\dfrac{3}{4}\, \text{arctg}\, u - \dfrac{1}{2} \ln |1 + u^{2}| + C_{1} = \ln |x| + C_{2}$

$\dfrac{3}{4}\, \text{arctg}\, u - \dfrac{1}{2} \ln |1 + u^{2}| - \ln |x| = C$

Обратная подстановка:

$\dfrac{3}{4}\, \text{arctg}\, \dfrac{y}{x} - \dfrac{1}{2} \ln \left|1 + \dfrac{y^{2}}{x^{2}} \right| - \ln |x| = C$ — общий интеграл

ответ: $\dfrac{3}{4}\, \text{arctg}\, \dfrac{y}{x} - \dfrac{1}{2} \ln \left|1 + \dfrac{y^{2}}{x^{2}} \right| - \ln |x| = C$