Question

Найдите все полиномы Р(x), для которых $P^2(x)-2=2P(2x^2-1)$

Answer 1

Преобразуем: $P^2(x)=2P(2x^2-1)+2\Leftrightarrow \frac{P^2(x)}{2}=P(2x^2-1)+1$. Сделаем замену: $x\to \frac{P(x)}{2}$ (полином имеет значение в любой точке), тогда: $\frac{P^2(\frac{P(x)}{2}) }{2}=P(\frac{P^2(x)}{2}-1)+1=P(P(2x^2-1))+1$. Отсюда: $2(\frac{P(\frac{P(x)}{2} )}{2})^2= P(P(2x^2-1))+1$, поскольку  $2(\frac{P(\frac{P(x)}{2} )}{2})^2=\frac{P^2(\frac{P(x)}{2}) }{2}$. Пусть $f_{k}$ обозначает примененную $k$ раз композицию функции $\frac{P(x)}{2}$ с самой собой. Аналогичным образом связана функция $g_{k}$ с функцией $P(2x^2-1)$. Продолжая вышеуказанные подстановки, приходим к равенству $2f_{k}^2=g_{k}+1,\; \forall k\in\mathbb{N}_{0}$. Теперь: $g(2f_{k}^2-1)=2f^2(2f_{k}^2-1)-1$, поскольку $g(x)=2f(x)-1$ (здесь $f,g=f_{0},g_{0}$). Но $g(2f_{k}^2-1)=g(g_{k})=g_{k+1}=2f_{k+1}^2-1$,  значит, $2f_{k+1}^2-1=2f^2(2f_{k}^2-1)-1 \Leftrightarrow f_{k+1}=\pm f(2f_{k}^2-1)$, но старший коэффициент $f_{k}$ положителен, откуда $f_{k+1}=f(2f^2_{k}-1)$. Пусть старший коэффициент $f_{k}$ равен $a_{k}$. Предположим, что $a_{0}\neq 0$. Посчитаем старший коэффициент слева: $f_{k+1}=f(f_{k})\Rightarrow a_{k+1}=a_{0}a_{k}^n$, где $n$ — степень многочлена $f$. Старший коэффициент справа равен старшему коэффициенту $f(2f_{k}^2)$ и равен $a_{0}\times2^n\times a_{k}^{2n}$. Приравниваем: $2^na_{0}a_{k}^{2n}=a_{0}a_{k}^n \Rightarrow (2a_{k})^n=1 \Leftrightarrow a_{k}=1/2$ (поскольку $a_{0}\neq 0$). В частности, $a_{0}=1/2$.

Заметим, что старший коэффициент $P(x)$ равен $2^{n+1}$ (в этом несложно убедиться). Тогда $a_{0}=2^{n+1}/2=2^{n}=1/2$, но такого натурального $n$ нет. Стало быть, $a_{0}=0$, то есть $P(x)$ константа. Пусть $P(x)=c$: $c^2-2=2c \Leftrightarrow c= 1\pm\sqrt{3}$.