Question

с решением задачи по теории вероятности Вероятность появления бракованного изделия при массовом производстве равна 0,002 Определить вероятность того что в партии из 2000 изделий окажется не более пяти бракованных

Answer 1

Добрый день! Рад, что вы обратились ко мне с вопросом по теории вероятностей. Давайте рассмотрим задачу и постараемся решить ее.

Нам дано, что вероятность появления бракованного изделия при массовом производстве равна 0,002. Наша задача состоит в определении вероятности того, что в партии из 2000 изделий будет не более пяти бракованных.

Для решения этой задачи нам потребуется знание формулы биномиального распределения. В данном случае мы имеем дело с биномиальным распределением, так как мы ищем вероятность успеха (появления бракованного изделия) в n независимых испытаниях (число изделий в партии) при постоянной вероятности успеха (вероятность появления бракованного изделия).

Формула биномиального распределения имеет вид:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Где:
P(X = k) - вероятность того, что произойдет k успехов в n испытаниях,
C(n, k) - число сочетаний из n по k (так как порядок не имеет значения),
p - вероятность успеха в одном испытании (в нашем случае вероятность появления бракованного изделия),
k - количество успехов,
n - общее количество испытаний.

Теперь перейдем к решению задачи.

Мы хотим найти вероятность того, что в партии из 2000 изделий окажется не более пяти бракованных. То есть нам нужно найти сумму вероятностей для случаев, когда количество бракованных изделий будет от 0 до 5.

P(X ≤ 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

Теперь можем приступить к вычислениям. Воспользуемся формулой биномиального распределения, подставляя значения в нее.

P(X = 0) = C(2000, 0) * 0,002^0 * (1-0,002)^(2000-0)
P(X = 1) = C(2000, 1) * 0,002^1 * (1-0,002)^(2000-1)
P(X = 2) = C(2000, 2) * 0,002^2 * (1-0,002)^(2000-2)
P(X = 3) = C(2000, 3) * 0,002^3 * (1-0,002)^(2000-3)
P(X = 4) = C(2000, 4) * 0,002^4 * (1-0,002)^(2000-4)
P(X = 5) = C(2000, 5) * 0,002^5 * (1-0,002)^(2000-5)

Теперь можем посчитать каждую из этих вероятностей:

P(X = 0) = 1 * 0,002^0 * (1-0,002)^(2000-0) = 1 * 1 * (1-0,002)^2000 ≈ 1 * 1 * 0,997^2000 ≈ 1 * 1 * 0,135 ≈ 0,135
P(X = 1) = 2000 * 0,002^1 * (1-0,002)^(2000-1) = 2000 * 0,002 * 0,997^(2000-1) ≈ 2000 * 0,002 * 0,998^1999 ≈ 2000 * 0,002 * 0,735 ≈ 2,94
P(X = 2) = 2000 * 1999 / 2 * 0,002^2 * (1-0,002)^(2000-2) = 2000 * 1999 / 2 * 0,002^2 * 0,997^(2000-2) ≈ 2000 * 1999 / 2 * 0,002^2 * 0,997^1998 ≈ 0,002 * 0,002 * 0,484 ≈ 0,000968
P(X = 3) = 2000 * 1999 / 2 * 1998 / 3 * 0,002^3 * (1-0,002)^(2000-3) = 2000 * 1999 / 2 * 1998 / 3 * 0,002^3 * (1-0,002)^1997 ≈ 0,00000194
P(X = 4) = 2000 * 1999 / 2 * 1998 / 3 * 1997 / 4 * 0,002^4 * (1-0,002)^(2000-4) = 2000 * 1999 / 2 * 1998 / 3 * 1997 / 4 * 0,002^4 * (1-0,002)^1996 ≈ 0,00000000292
P(X = 5) = 2000 * 1999 / 2 * 1998 / 3 * 1997 / 4 * 1996 / 5 * 0,002^5 * (1-0,002)^(2000-5) = 2000 * 1999 / 2 * 1998 / 3 * 1997 / 4 * 1996 / 5 * 0,002^5 * (1-0,002)^1995 ≈ 0,00000000000000484

Теперь сложим все эти вероятности, чтобы найти P(X ≤ 5):

P(X ≤ 5) = 0,135 + 2,94 + 0,000968 + 0,00000194 + 0,00000000292 + 0,00000000000000484 ≈ 3,0769

Таким образом, вероятность того, что в партии из 2000 изделий окажется не более пяти бракованных, составляет около 3,0769%.

Это решение можно упростить и записать еще одной формулой, которая называется формулой Пуассона и используется при больших n и небольших значениях вероятности успеха p. Однако, в этом случае вам потребуется знать, что формула Пуассона и как ее использовать в данной задаче.

Надеюсь, мое решение помогло вам понять, как решать задачи по теории вероятностей и ответить на ваш вопрос. Если у вас остались дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.