Question

в решении примера ∫∫dxdy D={x=y, y=1/4x, x+2y=6}

Answer 1

$y=x \\ \\ y=\frac{1}{4} x \\ \\ x+2y=6; \\ 2y=6-x \\ \\ y=3-\frac{1}{2}x \\ \\ x=\frac{1}{4}x \\ \\ x-\frac{1}{4}x=0 \\ \\ \frac{3}{4}x=0 \\ \\ x=0$

$y=0$

$x=3-\frac{1}{2}x \\ \\ x+\frac{1}{2}x=3 \\ \\ \frac{3}{2}x=3 \\ \\ 3x=6 \\ \\ x=2$

$y=2$

$\frac{1}{4} x=3-\frac{1}{2} x \\ \\ \frac{1}{4} x+\frac{1}{2} x=3 \\ \\ \frac{3}{4} x=3 \\ \\ 3x=12 \\ \\ x=4 \\ \\ y=\frac{1}{4}\cdot 4=1$

$\int\int\limits_D {} \, dx dy=\int\limits^2_0 \, dx \int\limits^{x}_{\frac{x}{4} } {} \, dy+\int\limits^4_2 \, dx \int \limits^{3-\frac{x}{2} }_{\frac{x}{4} } {} \, dy =\int\limits^2_0 {(x-\frac{x}{4} )} \, dx+\int\limits^4_2 {(3-\frac{x}{2} -\frac{x}{4} )} \, dx = \\ \\ =\frac{3}{4}\int\limits^2_0 {x} \, dx+3 \int\limits^4_2 {(1-\frac{x}{4} )} \, dx =\frac{3}{4}\cdot (\frac{x^2}{2})|^2_0 + 3\cdot (x-\frac{x^2}{8})|^4_2=$

$=\frac{3}{8}\cdot ( 2^2- 0 )+3\cdot ( (4-\frac{4^2}{8}) - (2-\frac{2^2}{8}) ) =\frac{3}{2}+3\cdot ( 2 - 2+\frac{1}{2} )=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3$