Исследование функции y=x*arctgx необходимо начать с определения ее области определения. В данном случае функция определена для всех значений x, за исключением x=0. Выберем произвольную точку x0=0 и найдем предел функции y при x, стремящемся к x0=0:
lim (x→x0) (x*arctgx)
= lim (x→0) (x * 0)
= 0
Значит, функция непрерывна на всей прямой, за исключением точки x=0.
Далее, найдем производную функции y=x*arctgx. Для этого воспользуемся формулой производной произведения двух функций:
(y)' = (u'v + uv')/v^2,
где u=x и v=arctgx.
(u)' = 1, так как производная x равна 1,
(v)' = 1/(1+x^2), так как производная arctgx равна 1/(1+x^2).
Подставим значения в формулу производной:
(y)' = (1*arctgx + x*(1/(1+x^2)))/(arctgx)^2.
Упростим полученное выражение:
(y)' = (arctgx + x/(1+x^2))/(arctgx)^2.
Чтобы найти точки экстремумов и монотонность функции, приравняем производную к нулю:
arctgx + x/(1+x^2) = 0.
Допустим, что это уравнение не имеет решений в области определения функции. Тогда, оно имеет решение на границе области определения, то есть при x=0. Проверим это, вычислив значение производной в этой точке:
Полученное значение равно 0, что говорит о том, что функция не имеет экстремумов в области определения.
Далее, изучим поведение функции на интервалах, ограниченных точками разрывов. Функция x*arctgx является четной, что можно заметить из графика. Таким образом, достаточно изучить поведение функции на положительной полуоси.
На интервале (0,+∞) функция является положительной, так как x>0 и arctgx>0 на этом интервале. Кроме того, функция убывает при увеличении x, так как ее производная на данном интервале меньше 0:
(y)'(x) = (arctgx + x/(1+x^2))/(arctgx)^2.
Подставим произвольное значение x1>0:
(y)'(x1) = (arctgx1 + x1/(1+x1^2))/(arctgx1)^2.
Очевидно, что числитель положителен, а знаменатель положителен, так как arctgx1>0. Значит, производная (y)'(x) меньше 0 на интервале (0,+∞), и функция x*arctgx является убывающей на данном интервале.
Теперь, проанализируем поведение функции на интервале (-∞,0). Поскольку функция x*arctgx является четной, то ее график симметричен относительно оси y. Таким образом, изучив поведение функции на положительной полуоси, мы можем сделать выводы о ее поведении на отрицательной полуоси.
Исследуем теперь функцию на вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты могут возникнуть, когда значение arctgx стремится к ±π/2. Определим пределы функции при х, стремящемся к ±∞:
lim (x→±∞) (x*arctgx) = ±∞*arctg(±π/2).
Значит, у функции есть вертикальные асимптоты на прямых x=±∞.
Теперь рассмотрим поведение функции на горизонтальные асимптоты. Горизонтальные асимптоты могут возникнуть, когда значение arctgx стремится к ±π/2 при x, стремящемся к какому-то конечному числу.
Значит, у функции есть горизонтальные асимптоты на прямых y=±a*(π/2).
Теперь перейдем к построению графика функции y=x*arctgx.
1. Прямая y=0 представляет собой одну из асимптот функции, так как y=0 при x=0.
2. Горизонтальные асимптоты находятся на прямых y=±a*(π/2), где а - это некоторое конечное число.
3. Функция монотонно убывает на интервале (0,+∞) и монотонно возрастает на интервале (-∞,0), так как мы уже доказали это в предыдущих шагах.
4. Точка (0,0) является точкой перегиба графика функции, так как при изменении х с положительного на отрицательное значение происходит изменение выпуклости графика.
Таким образом, график функции y=x*arctgx будет иметь следующий вид:
- Ветвь графика, расположенная в первой и третьей четвертях, будет зеркальным отражением второй и четвертой четверти соответственно. Ветвь графика будет проходить через точку (0,0).
- График будет иметь вертикальные асимптоты на прямых x=±∞.
- График будет иметь горизонтальную асимптоту на прямой y=0.
Надеюсь, что данное исследование функции и построение графика было понятным для вас. Если возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
а) Найти прямую пересечения плоскостей ABC и ABB1:
Для начала, нам нужно определить уравнения этих двух плоскостей. Для плоскости ABC нам понадобятся три точки A, B и C, которые даны в задаче. Допустим, координаты точек A, B и C равны:
A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃).
Уравнение плоскости ABC можно получить с помощью формулы:
Ax(x - x₁) + By(y - y₁) + Cz(z - z₁) = 0.
Нам также известно, что прямая ABB1 лежит в плоскости ABB1. Поскольку у нас уже есть точки A и B, нам нужно только добавить координаты точки B1. Пусть координаты точки B1 будут (x₂', y₂', z₂').
Уравнение плоскости ABB1 будет иметь вид:
Ax(x - x₁) + Ay(y - y₁) + Az(z - z₁) = 0.
Теперь, чтобы найти прямую пересечения этих двух плоскостей, нам необходимо решить систему уравнений, состоящую из двух уравнений плоскостей:
Эту систему можно решить методом подстановки или методом сложения/вычитания уравнений.
б) Как расположены прямые AB и ВДСІ:
Для определения расположения прямых AB и ВДСІ нужно рассмотреть их направляющие векторы. Направляющий вектор прямой AB можно получить вычитая координаты точек A и B:
AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁).
То же самое делаем и для прямой ВДСІ, используя координаты соответствующих точек.
Затем, чтобы определить, какие прямые параллельны или пересекаются между собой, можно сравнить используемые направляющие векторы. Если направляющие векторы прямых коллинеарны (параллельны или сонаправлены), то прямые параллельны. Если направляющие векторы прямых не коллинеарны, то прямые пересекаются.
в) Расположение прямых ДС и ВВ1:
Аналогично предыдущему пункту, для определения расположения прямых ДС и ВВ1 нужно рассмотреть их направляющие векторы. Направляющий вектор прямой ДС можно получить вычитая координаты точек Д и С:
DS = (x₃ - x₄, y₃ - y₄, z₃ - z₄).
Направляющий вектор прямой ВВ1 будет равен вектору BB1:
BB1 = (x₂' - x₂, y₂' - y₂, z₂' - z₂).
Затем, аналогично предыдущему пункту, можно сравнить направляющие векторы и сделать вывод о расположении прямых.
г) Расположение прямых ДД и СД:
Для определения расположения прямых ДД и СД нужно рассмотреть их направляющие векторы. Направляющий вектор прямой ДД будет равен вектору DD:
DD = (x₄' - x₄, y₄' - y₄, z₄' - z₄).
Направляющий вектор прямой СД можно получить вычитая координаты точек С и Д:
SD = (x₃ - x₄, y₃ - y₄, z₃ - z₄).
Аналогично предыдущим пунктам, сравниваем направляющие векторы и делаем вывод о расположении прямых.
д) Какой плоскости принадлежит отрезок ДС и точка B1:
Отрезок ДС будет лежать в плоскости ABC, так как он проходит через точки A, B и C, которые также определяют эту плоскость. Точка B1 будет лежать в той же плоскости, так как она является прямой ABB1.
Надеюсь, эти объяснения помогут вам лучше понять и решить вашу задачу. Не стесняйтесь задавать дополнительные вопросы, если что-то осталось непонятным.
Исследование функции y=x*arctgx необходимо начать с определения ее области определения. В данном случае функция определена для всех значений x, за исключением x=0. Выберем произвольную точку x0=0 и найдем предел функции y при x, стремящемся к x0=0:
lim (x→x0) (x*arctgx)
= lim (x→0) (x * 0)
= 0
Значит, функция непрерывна на всей прямой, за исключением точки x=0.
Далее, найдем производную функции y=x*arctgx. Для этого воспользуемся формулой производной произведения двух функций:
(y)' = (u'v + uv')/v^2,
где u=x и v=arctgx.
(u)' = 1, так как производная x равна 1,
(v)' = 1/(1+x^2), так как производная arctgx равна 1/(1+x^2).
Подставим значения в формулу производной:
(y)' = (1*arctgx + x*(1/(1+x^2)))/(arctgx)^2.
Упростим полученное выражение:
(y)' = (arctgx + x/(1+x^2))/(arctgx)^2.
Чтобы найти точки экстремумов и монотонность функции, приравняем производную к нулю:
arctgx + x/(1+x^2) = 0.
Допустим, что это уравнение не имеет решений в области определения функции. Тогда, оно имеет решение на границе области определения, то есть при x=0. Проверим это, вычислив значение производной в этой точке:
(y)'(0) = (arctg0 + 0/(1+0^2))/(arctg0)^2
= (0+0)/(0)^2
= 0.
Полученное значение равно 0, что говорит о том, что функция не имеет экстремумов в области определения.
Далее, изучим поведение функции на интервалах, ограниченных точками разрывов. Функция x*arctgx является четной, что можно заметить из графика. Таким образом, достаточно изучить поведение функции на положительной полуоси.
На интервале (0,+∞) функция является положительной, так как x>0 и arctgx>0 на этом интервале. Кроме того, функция убывает при увеличении x, так как ее производная на данном интервале меньше 0:
(y)'(x) = (arctgx + x/(1+x^2))/(arctgx)^2.
Подставим произвольное значение x1>0:
(y)'(x1) = (arctgx1 + x1/(1+x1^2))/(arctgx1)^2.
Очевидно, что числитель положителен, а знаменатель положителен, так как arctgx1>0. Значит, производная (y)'(x) меньше 0 на интервале (0,+∞), и функция x*arctgx является убывающей на данном интервале.
Теперь, проанализируем поведение функции на интервале (-∞,0). Поскольку функция x*arctgx является четной, то ее график симметричен относительно оси y. Таким образом, изучив поведение функции на положительной полуоси, мы можем сделать выводы о ее поведении на отрицательной полуоси.
Исследуем теперь функцию на вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты могут возникнуть, когда значение arctgx стремится к ±π/2. Определим пределы функции при х, стремящемся к ±∞:
lim (x→±∞) (x*arctgx) = ±∞*arctg(±π/2).
Значит, у функции есть вертикальные асимптоты на прямых x=±∞.
Теперь рассмотрим поведение функции на горизонтальные асимптоты. Горизонтальные асимптоты могут возникнуть, когда значение arctgx стремится к ±π/2 при x, стремящемся к какому-то конечному числу.
lim (x→±a) (x*arctgx) = ±a*arctg(±π/2) = ±a*(π/2).
Значит, у функции есть горизонтальные асимптоты на прямых y=±a*(π/2).
Теперь перейдем к построению графика функции y=x*arctgx.
1. Прямая y=0 представляет собой одну из асимптот функции, так как y=0 при x=0.
2. Горизонтальные асимптоты находятся на прямых y=±a*(π/2), где а - это некоторое конечное число.
3. Функция монотонно убывает на интервале (0,+∞) и монотонно возрастает на интервале (-∞,0), так как мы уже доказали это в предыдущих шагах.
4. Точка (0,0) является точкой перегиба графика функции, так как при изменении х с положительного на отрицательное значение происходит изменение выпуклости графика.
Таким образом, график функции y=x*arctgx будет иметь следующий вид:
- Ветвь графика, расположенная в первой и третьей четвертях, будет зеркальным отражением второй и четвертой четверти соответственно. Ветвь графика будет проходить через точку (0,0).
- График будет иметь вертикальные асимптоты на прямых x=±∞.
- График будет иметь горизонтальную асимптоту на прямой y=0.
Надеюсь, что данное исследование функции и построение графика было понятным для вас. Если возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!