№1. I глава х страниц II глава 0,42х страниц (42%=42/100=0,42) III глава ²/₃ * 0,42х Всего 340 страниц Уравнение. х + 0,42х + ²/₃ * 0,42х = 340 1,42х + ²/₃ * ⁴²/₁₀₀ * х = 340 1,42х + 0,28х = 340 1,7х = 340 х=340:1,7=3400/17 х= 200 (стр.) I глава 0,42 * 200 = 84 (стр.) II глава ²/₃ * 84 = 56 (стр.) III глава
ответ: 200 страниц занимает первая глава, 84 страницы - вторая глава, 56 страниц - третья глава.
Из подобия треугольников ADE и BCE следует x/b = (x + b)/a; что означает, что AC делит ED пропорционально AD и AE, то есть AC - биссектриса угла EAD. Далее, угол BCE = угол ADE, следовательно, оба треугольника BCE и ACD - равнобедренные, имеют равные углы при основании и равные основания, так как BC = CD. Таким образом, x = BE = EC = a; Итак, в равнобедренном треугольнике AED основание AD = биссектриса AC = отрезок от вершины до основания биссектрисы EC. Этот треугольник полезно запомнить - и сейчас станет ясно, почему. Если обозначить угол CAD = α; то теперь очевидно, что угол CDA = угол ACD = 2α; (AC - биссектриса угла А, и не надо забывать, что и трапеция равнобедренная). Угол BCA = α; поэтому угол BCD = 3α; и 5α = 180°; откуда α = 36°; углы трапеции равны 108° и 72°; это ответ :)
а теперь - почему так устроенный треугольник AED так важен. Поскольку x = a; то (a + b)/a = a/b; если обозначить b/a = y; то 1 + y = 1/y; или y^2 + y - 1 = 0; откуда y = (√5 - 1)/2; Отсюда получается cos(72°) = (a/2)/(a + b) = (1/2)/(1 + b/a) = 1/(2 + 2y) = 1/(√5 + 1) = (√5 - 1)/4; cos(72°) = (√5 - 1)/4; то есть получено выражение в радикалах для косинуса угла 72°; конечно же, cos(72°) = sin(18°); и это означает, что получены выражения в радикалах для всех углов, кратных 18° (ну, я их вычислять тут не буду, это и не важно).
I глава х страниц
II глава 0,42х страниц (42%=42/100=0,42)
III глава ²/₃ * 0,42х
Всего 340 страниц
Уравнение.
х + 0,42х + ²/₃ * 0,42х = 340
1,42х + ²/₃ * ⁴²/₁₀₀ * х = 340
1,42х + 0,28х = 340
1,7х = 340
х=340:1,7=3400/17
х= 200 (стр.) I глава
0,42 * 200 = 84 (стр.) II глава
²/₃ * 84 = 56 (стр.) III глава
ответ: 200 страниц занимает первая глава, 84 страницы - вторая глава,
56 страниц - третья глава.
№2.
80 % = 80/100 = 0.8
⁴/₇ * n = 0.8 * 40
⁴/₇ *n = 32
n= 32 : ⁴/₇ = ³²/₁ * ⁷/₄ = ⁵⁶/₁
n= 56
№3.
( ¹/ ( ⁵/₆ ) ) : (⁷ /(¹/₃)) = 1,6 : х
⁶/₅ : (⁷*³ / ₁ ) = 1,6 :х
1,2 : 21 = 1,6 : х
1,2х = 1,6 * 21
х = 33,6 : 1,2
х = 28
( ¹/ (⁵/₆) ) : ( ⁷/ (¹/₃) ) = 1,6 : 28
⁶/₅ : 21 = ¹⁶/₂₈₀
⁶/₅ * ¹/₂₁ = ²/₃₅
²*¹ / ₅*₇ = ²/₃₅
²/₃₅ = ²/₃₅
№4.
⁵/₁₂ у +1,3 =0,53 + ⁷/₈ у
⁵/₁₂ у - ⁷/₈ у = 0,53 -1,3
- ( ²¹/₂₄ - ¹⁰/₂₄) у = - (1,30 - 0,53)
- ¹¹/₂₄ у = - 0,77 | * (-1)
¹¹/₂₄ y = 0.77
y = 0.77 : ¹¹ /₂₄ = ⁷⁷/₁₀₀ * ²⁴/₁₁ = ⁷*²⁴ / ₁₀₀ *₁ = ¹⁶⁸/₁₀₀
у= 1,68
⁵/₁₂ * 1,68 + 1,3 = 0,53 + ⁷/₈ * 1,68
⁵/₁₂ * ⁴²/₂₅ + 1,3 = 0,53 + ⁷/₈ * ⁴²/₂₅
⁷/₁₀ +1,3 = 0,53 + ¹⁴⁷/₁₀₀
0,7 +1,3 = 0,53 + 1,47
2 = 2