Question

Определить и записать структуру частного решения у* линейного неоднородного диф уравнения по виду функции f(x): y''-4y'=f(x) a) f(x) = (x-2)^(e4x) b) f(x) = 3cos4x

Answer 1

Найдем общее решение правой части (ОЛДУ)

$y'' - 4y '= 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ k {}^{2} - 4k = 0 \\ k(k - 4) = 0\\ k_1 = 0 \\ k_2 = 4 \\ \\ y = C_1 + C_2 {e}^{4x}$

а)

$y'' - 4y' = (x - 2) {e}^{4x}$

$y= Ax + B$

В общем решении ОЛДУ есть константа без переменной (С1), поэтому многочлен домножаем на х.

$y = x(Ax + B) = (A {x}^{2} + Bx)$

Также домножаем на е^(4х)

Получаем структуру частного решения:

$y= (A {x}^{2} + Bx) {e}^{4x}$

б)

$y ''- 4y' = 3 \cos(4x)$

здесь правая часть не имеет пересечений с общим решением ОЛДУ, поэтому стандартный вид частного решения для тригонометрических функций:

$y = A \sin(4x) + B \cos(4x)$