Question

Вычислить * 1+1/(1+2)+1/(1+2+3)++1/1+2+3++2010

Answer 1

$\frac{2*2010}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}....\frac{1}{1+2+2+3+...2010}}=\\ \frac{4020}{1+\frac{2}{2*3}+\frac{2}{3*4}+\frac{2}{4*5}+\frac{2}{5*6}....\frac{2}{2010*2011}}=\\$

Теперь  , сделаем замену n=2,  и вычислим нашу сумму реккурентно      
$1+ \frac{n}{n(n+1)}+\frac{n}{(n+1)(n+2)}+\frac{n}{(n+2)(n+3)}...\frac{n}{(n+2008)(n+2009)}$
теперь  почленно сложим  каждую сумму и получим такой реккурентный ряд 
$\frac{n+2}{n+1}\\ \frac{n+4}{n+2}\\ \frac{n+6}{n+3}$
и очевидно что наша сумма будет равна 

$\frac{n+2009*2}{n+2009}=\frac{2+4018}{2011}=\frac{4020}{2011}\\ \frac{4020}{\frac{4020}{2011}}=2011$

ответ 2011