Question

я свой!! Решить задачу Коши
1) y''-2y'+y=(x+5)e^6x y(0)=5 y'(0)=1

2)y''+y=sin5x y(0)=0 y'(0)=6

Answer 1

ответ: у= -1/25 · eˣ+1/25 ·xeˣ   +(х/25 + 23/125)e⁶ˣ

1) y''-2y'+y=(x+5)e^6x  y(0)=5 y'(0)=1

составим характеристическое уравнение:

k²-2k+1 = 0 ⇒ D=0  ⇒

k₁=k₂=1 корень характеристического уравнения кратности 2

Значит общее решение однородного уравнения имеет вид: у=С₁eˣ+C₂xeˣ  

В правой части у нас  f(x) = (x+5)*e⁶ˣ  ⇒ уравнение имеет частное решение вида:  y₁= (Ax + B)e⁶ˣ

Вычислим производные:

y' = Ae⁶ˣ+6(Aх+B)·e⁶ˣ

y'' = 12(3Ax+A+3B)·e⁶ˣ

подставляем их в данное уравнение:

(12(3·Ax+A+3·B)·e⁶ˣ) -2(Ae⁶ˣ+6(Ax+B)·e⁶ˣ) + ((Ax + B)e⁶ˣ) = (x+5)·e⁶ˣ

36Axe⁶ˣ+12Ae⁶ˣ+36Be⁶ˣ -2Ae⁶ˣ-12Axe⁶ˣ- 12Be⁶ˣ + Axe⁶ˣ + Be⁶ˣ = (x+5)·e⁶ˣ

25Axe⁶ˣ+10Ae⁶ˣ+25Be⁶ˣ =  хe⁶ˣ+5e⁶ˣ

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

25А=1,   ⇒ А=1/25

10А+ 25В=5  ⇒ 10/25+  25В=5 ⇒ 10+625В=125 ⇒625В=115 ⇒ В=23/125 Значит частное решение имеет вид: у₁=(х/25 + 23/125)e⁶ˣ

Тогда общее решение  уравнения

у=С₁eˣ+C₂xeˣ   +(х/25 + 23/125)e⁶ˣ

По условию y(0)=0 , y'(0)=6 ⇒

у(0)=С₁e⁰+C₂·0·e⁰  +(0/25 + 23/125)e⁰ =С₁+23/125⇒С₁+23/125=0⇒

С₁=- 23/125

у'=С₁eˣ+C₂xeˣ  + C₂eˣ +6(х/25 + 23/125)e⁶ˣ +1/25 ·e⁶ˣ

у'(0)=С₁  + C₂ +6· (23/125) +1/25=С₁  + C₂ +138/125 +1/25 ⇒

С₁  + C₂ +138/125 +1/25=1 ⇒ - 23/125+ C₂ +138/125 +1/25=1 ⇒C₂=1-120/125=1- 24/25=1/25

у= -1/25 · eˣ + 1/25 ·xeˣ   +(х/25 + 23/125)e⁶ˣ

2)y''+y=sin5x y(0)=0 y'(0)=6

составим характеристическое уравнение:

составим характеристическое уравнение:

k²+1 = 0  ⇒ k²=-1 ⇒ k₁=i,  k₂=-i

Значит общее решение однородного уравнения имеет вид:

у=С₁$e^{ix}$+C$e^{-ix}$=C₁Cosx+ C₂sinx  

Правая часть у нас f(x)=Sinx

 ⇒ уравнение имеет частное решение вида, т.к. i является корнем характеристического уравнения:

y₁ = x (Acosx + Bsinx)

Вычислим производные:

y' = Acosx+Bsinx+x(-Asinx+Bcosx)

y'' = -2Asinx+2Bcosx-x(Acosx+Bsinx),

подставляя в данное в условии уравнение, получим:

-2Asinx+2Bcosx= sinx

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

-2A = 1    и  2B = 0 ⇒   A = -0,5; B = 0;

Частное решение имеет вид:

y₁=x (-0,5cosx + 0·sinx) =-0,5хcosx ⇒      

общее решение  у=C₁Cosx+ C₂sinx - 0,5хcosx  

Из условий y(0)=0, y'(0)=6 найдём С₁ и С₂:

у(0)=C₁Cos0+ C₂sin0 - 0,5·0·cos0=С₁ ⇒  С₁=0

y'= -C₁Sinx+C₂Cosx-0,5Cosx+0,5xSinx ⇒  y'(0)=C₂-0,5⇒C₂-0,5=6 ⇒C₂=6,5

ответ:  у=6,5sinx - 0,5хcosx