Question

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение ax2+2(a+1)x+(a−4)=0
имеет два корня, расстояние между которыми больше 2

Answer 1

при a ∈ (3 - √10 ; 3 + √10)

Пошаговое объяснение:

$ax^2+2(a+1)x+(a-4)=0$

Перед нами квадратное уравнение. Попробуем рассчитать его дискриминант:

$D=(2\cdot(a+1))^2-4a\cdot(a-4)=(2a+2)^2-4a^2+16a=\\\\=4a^2+8a+4-4a^2+16a=24a+4$

Квадратное уравнение имеет два корня лишь в том случае, когда значение дискриминанта больше нуля. Следовательно:

$24a+40\\\\24a-4\\\\a-\dfrac{4}{24}\\\\a-\dfrac{1}{6}$

В таком случае уравнение имеет два корня. Они будут следующие:

$x_1=\dfrac{-(2a+2)-\sqrt{24a+4}}{2a}=\dfrac{-2a-2-\sqrt{24a+4}}{2a}=\\\\\\=\dfrac{2\Big(-a-1-\sqrt{6a+1}\Big)}{2a}=\dfrac{-a-1-\sqrt{6a+1}}{a}\\\\\\x_2=\dfrac{-2a-2+\sqrt{24a+4}}{2a}=\dfrac{-a-1+\sqrt{6a+1}}{a}$

Теперь рассчитаем расстояние между корнями:

$|x_2-x_1|=\dfrac{-a-1+\sqrt{6a+1}}{a}-\dfrac{-a-1-\sqrt{6a+1}}{a}=\\\\\\=\dfrac{-a-1+\sqrt{6a+1}+a+1+\sqrt{6a+1}}{a}=\dfrac{2\sqrt{6a+1}}{a}$

Нам нужно, чтобы расстояние между корнями было больше 2, следовательно:

$\dfrac{2\sqrt{6a+1}}{a}2; a\geq -\dfrac{1}{6}\\\\2\sqrt{6a+1}2a\\\\(2\sqrt{6a+1})^2(2a)^2\\\\4\cdot(6a+1)4a^2\ |\ \div4\\\\6a+1a^2\\\\6a+1-a^20\\\\-a^2+6a+10$

Чтобы решить получившееся неравенство, для начала решим соответствующее уравнение:

$-a^2+6a+1=0\ |\ \cdot(-1)\\\\a^2-6a-1=0\\\\D=(-6)^2-4\cdot1\cdot(-1)=36+4=40=4\cdot10=2^2\cdot10\\\\a_1=\dfrac{6-2\sqrt{10}}{2}=\dfrac{2(3-\sqrt{10})}{2}=3-\sqrt{10}\\\\a_2=3+\sqrt{10}$

Так как нам известны корни, мы можем разложить квадратный трёхчлен в левой части исходного неравенства на множители:

- 1 · (a - (3 - √10)) · (a - (3 + √10)) > 0

Раскроем скобки и домножим на -1 обе части неравенства (при этом следует поменять знак неравенства на противоположный):

(a - 3 + √10) · (a - 3 - √10) < 0

Произведение a · b < 0 в слеующих случаях:

{ a < 0

{ b > 0

ИЛИ

{ a > 0

{b < 0

Следовательно:

1)

{ a - 3 - √10 > 0

{ a - 3 + √10 < 0

ИЛИ

2)

{ a - 3 - √10 < 0

{ a - 3 + √10 > 0

Перенесём известные слагаемые каждого неравенства каждой системы в правую часть:

1)

{ a > 3 + √10

{ a < 3 - √10

ИЛИ

2)

{ a < 3 + √10

{a > 3 - √10

***

1)

\\\\\\\\\\\\\\\                             ///////////////

--------------o----------------------o---------------->

             3 - √10             3 + √10

Пересечений нет.

2)

          /////////////////////////////////////////////////////////

-------⚫---------o------------------------o----------------->

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

         -1/6         3 - √10                 3 + √10

a ∈ (3 - √10 ; 3 + √10), a ≥ - 1/6

***