Question

(sin(x+y)+sin(x-y))dx+dy/cosy=0 найти общее решения

Answer 1

Для начала давайте перепишем уравнение в более удобной форме:

(sin(x+y) + sin(x-y))dx + dy/cos(y) = 0

Для удобства, давайте обозначим sin(x+y) как A и sin(x-y) как B, чтобы уравнение стало более компактным:

A + B dx + dy/cos(y) = 0

Теперь давайте решим уравнение шаг за шагом.

1. Перенесем dy/cos(y) на другую сторону уравнения:

A + B dx = -dy/cos(y)

2. Умножим обе части уравнения на dx:

(A + B) dx = -dy/cos(y)

3. Интегрируем обе части уравнения:

∫(A + B) dx = -∫dy/cos(y)

4. Интегрируем каждую часть уравнения:

∫A dx + ∫B dx = -∫dy/cos(y)

5. Вспоминаем, что ∫A dx = A x + C1 и ∫B dx = B x + C2, где C1 и C2 - постоянные интегрирования:

Ax + C1 + Bx + C2 = -∫dy/cos(y)

6. Сгруппируем x-термы и внесем постоянные интегрирования в C:

(A + B)x + (C1 + C2) = -∫dy/cos(y)

7. Чтобы найти интеграл ∫dy/cos(y), воспользуемся заменой переменных. Пусть z = cos(y), тогда dz = -sin(y) dy:

-∫dy/cos(y) = -∫dz

так как dz = -sin(y) dy, а sin(y) = √(1 - cos^2(y))

8. Интегрируем -∫dz:

-∫dz = -z + C3, где C3 - постоянная интегрирования

9. Теперь у нас получается следующее уравнение:

(A + B)x + (C1 + C2) = -z + C3

10. Заменим z обратно на cos(y):

(A + B)x + (C1 + C2) = -cos(y) + C3

11. Объединим константы в C:

(A + B)x + C = -cos(y)

12. Теперь выражаем y:

-Arccos((-A - B)x - C) = y + 2πk

где k - целое число.

Итак, общее решение данного уравнения будет:

y = -Arccos((-A - B)x - C) + 2πk

Это и является итоговым решением уравнения.