Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании) , они отвергались как невозможные. Исключение составлял Диофант, который в III веке уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа. Однако он рассматривал их лишь как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата. Впервые отрицательные числа были частично узаконены в Китае, а затем (примерно с VII века) и в Индии, где трактовались как долги (недостача) , или, как у Диофанта, признавались как временные значения. Умножение и деление для отрицательных чисел тогда ещё не были определены. Полезность и законность отрицательных чисел утверждались постепенно. Индийский математик Брахмагупта (VII век) уже рассматривал их наравне с положительными. В Европе признание наступило на тысячу лет позже, да и то долгое время отрицательные числа называли «ложными» , «мнимыми» или «абсурдными» . Первое описание их в европейской литературе появилось в «Книге абака» Леонарда Пизанского (1202 год) , который трактовал отрицательные числа как долг. Бомбелли и Жирар в своих трудах считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения нехватки чего-либо. Даже в XVII веке Паскаль считал, что 0 − 4 = 0, так как ничто не может быть меньше, чем ничто. Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом (минус) , хотя алгебраически это совершенно разные понятия. В XVII веке, с появлением аналитической геометрии, отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на числовой оси. С этого момента наступает их полное равноправие. Тем не менее теория отрицательных чисел долго находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция 1:(-1) = (-1):1 — в ней первый член слева больше второго, а справа — наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс Арно») . Непонятно было также, какой смысл имеет умножение отрицательных чисел, и почему произведение отрицательных положительно; на эту тему проходили жаркие дискуссии. Гаусс в 1831 году считал нужным разъяснить, что отрицательные числа принципиально имеют те же права, что и положительные, а то, что они применимы не ко всем вещам, ничего не означает, потому что дроби тоже применимы не ко всем вещам (например, неприменимы при счёте людей) [1]. Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке (Уильям Гамильтон и Герман Грассман).
Жили были Пошел однажды волк вместе с кумушкой лисой рыбу удить. - Кто понесет корзину? - спросил волк.
- Ты, - ответила лиса,- у тебя хвост потолще моего.
Она крепко привязала корзину к хвосту волка. Улов был обильный. Волк тащил-тащил тяжелую корзину, хвост не выдержал и оборвался.
- Я тебя съем,- сказал волк лисе,- за то, что ты сыграла со мной такую шутку!
меня, мой дружок, милый мой кум! Пойдем лучше с тобой в кузницу, там тебе выкуют хвост покрепче, чтобы он больше не обрывался.
По приказу лисы кузнец положил на наковальню кусок железа и, раскалив его как следует, приложил волку к тому месту, где был оборван хвост.
Волк страшно взвыл от боли и опрометью бросился бежать.
Спустя некоторое время лиса столкнулась со своим кумом нос к носу на дороге. Волк закричал сердито:
- На этот раз ты от меня не уйдешь, я тебя съем!
- Ну, полно, Куцый, мой дружок! Неужели ты станешь мне мстить за невинную шутку? Пойдем-ка со мной, я знаю местечко, где висят прекрасные колбасы. Они, наверное, куда лучше на вкус, чем мое жесткое, жилистое мясо.
Волк лисе украсть колбасы, и они утащили их в лес.
- Теперь,- сказала лиса,- нужно их повесить на верхушку дуба. Ведь если мы оставим их здесь, соберутся другие звери и потребуют свою часть. Не лучше ли нам устроить хорошую кладовую, откуда брать припасы будем мы одни?
Волк согласился, и лиса стала таскать колбасы на верхушку очень высокого дуба, а перетаскавши, принялась их уплетать.
Волк не умел лазить по деревьям и кричит лисе:
- Сбрось-ка мне мою долю!
- Подбирай мои огрызки, Куцый!
- Ах ты, негодная! Да будь ты потверже древесной коры, я и то тебя съем, если поймаю!
Тут волк завыл, и к нему сбежались волки со всего леса.
Он рассказал им про злую проделку своей кумы и попросил отомстить ей, а в награду за обещал поделиться колбасами, которые забрала лиса. Волки согласились. Они решили встать друг другу на плечи, опираясь передними лапами о ствол, и таким образом добраться до верхушки дерева. А Куцый будет стоять внизу и держать на себе всю стаю.
Волки полезли друг на друга, и верхний волк уже почти добрался до того места, где сидела лиса, как она крикнула:
Услышав эти слова, Куцый, которому хорошо запомнилось горячее железо в кузнице, так перепугался, что тотчас шлепнулся на все четыре лапы и пустился наутек. Все волки попадали друг на друга и, обозлившись на Куцего, бросились вслед за ним и задушили его.
А хитрая лиса только посмеивалась, преспокойно доедая свои колбасы.
ln(1+x)<ln(e^x)
1+x<e^x
Разложим в ряд e^x
e^x = 1+x + x^2/2! + o(x^n)
1+x<1+x + x^2/2! + o(x^n)
x^2/2! + o(x^n)>0 для любого x>0