ДАНО: y= -0,25*x⁴+*x².
Исследование:
1. Область определения: D(y)= R, X∈(-∞;+∞)
2. Непрерывная. Гладкая. Вертикальных асимптот - нет
3.Поведение на бесконечности. Y(-∞)= -∞, Y(+∞)= -∞.
4. Нули функции, пересечение с осью ОХ. Y(x)=0.
Применим метод подстановки. z=x². -0,25z² + z= 0
Нули функции: x₁=-2, x₂ = х₃=0, x₄ = 2.
5. Интервалы знакопостоянства.
Положительна: Y(x) >=0 - Х∈[-2;2].
Отрицательна: Y<0 - X∈(-∞;-2]∪[2;+∞).
6. Проверка на чётность. Все степени при Х: 4, 2 - чётные.
Функция чётная: Y(-x) = Y(x)
7. Поиск экстремумов по первой производной.
Y'(x) = -x³ + 2*x = -x*(x² - 2) = 0
Точки экстремумов: x₅ = -√2, х₆ = 0, х₇ = √2 (≈1,4)
7. Локальный экстремум: Ymin(0) = 0, Ymax - Y(x₅) = Y(х₇) = 1.
8. Интервалы монотонности.
Убывает - X∈(-√2;0]∪[√2;+∞), возрастает - X∈(-∞;-√2]∪[0;√2]
9. Поиск перегибов по второй производной.
Y"(x) = -3*x² + 2 = 0, x = √(2/3) ≈ 0.82 - точки перегиба - . Y"(x)>0
10. Вогнутая - "ложка" - X∈[-0.82;+0.82],
Выпуклая - "горка" - Х∈(-∞;-0.82]∪[0.82;+∞).
11. Область значений. E(y) = [1;-∞)
12. График функции в приложении.
ДАНО: y= -0,25*x⁴+*x².
Исследование:
1. Область определения: D(y)= R, X∈(-∞;+∞)
2. Непрерывная. Гладкая. Вертикальных асимптот - нет
3.Поведение на бесконечности. Y(-∞)= -∞, Y(+∞)= -∞.
4. Нули функции, пересечение с осью ОХ. Y(x)=0.
Применим метод подстановки. z=x². -0,25z² + z= 0
Нули функции: x₁=-2, x₂ = х₃=0, x₄ = 2.
5. Интервалы знакопостоянства.
Положительна: Y(x) >=0 - Х∈[-2;2].
Отрицательна: Y<0 - X∈(-∞;-2]∪[2;+∞).
6. Проверка на чётность. Все степени при Х: 4, 2 - чётные.
Функция чётная: Y(-x) = Y(x)
7. Поиск экстремумов по первой производной.
Y'(x) = -x³ + 2*x = -x*(x² - 2) = 0
Точки экстремумов: x₅ = -√2, х₆ = 0, х₇ = √2 (≈1,4)
7. Локальный экстремум: Ymin(0) = 0, Ymax - Y(x₅) = Y(х₇) = 1.
8. Интервалы монотонности.
Убывает - X∈(-√2;0]∪[√2;+∞), возрастает - X∈(-∞;-√2]∪[0;√2]
9. Поиск перегибов по второй производной.
Y"(x) = -3*x² + 2 = 0, x = √(2/3) ≈ 0.82 - точки перегиба - . Y"(x)>0
10. Вогнутая - "ложка" - X∈[-0.82;+0.82],
Выпуклая - "горка" - Х∈(-∞;-0.82]∪[0.82;+∞).
11. Область значений. E(y) = [1;-∞)
12. График функции в приложении.
Тогда:
х/10 - скорость наполнения через большую трубу;
х/15 - скорость наполнения через маленькую.
Известно, что большая труба была включена 2.5 часа. За это время бассейн наполнится на чатверть (2.5/10=1/4)
Еще необходимо наполнить бассейн на половину (3/4-1/4=2/4=1/2)
Чтобы вычислить время наполнения, нужно необходимый объем разделить на скорость наполнения. Т. к. открыли две трубы, то скорость наполнения будет х/10+х/15=5х/30.
Вычисляем время:
(х/2):(5х/30)=30х/10х=3часа
Можно так
1) 1:10=1/10 (бассейна) - наполняет большая труба за 1 час 2) 1:15=1/15 (бассейна) - наполняет маленькая труба за 1 час 3) 1/10+1/15=(3+2)/30=5/30=1/6 (бассейна) - наполняют обе трубы за 1 час 4) 1/10*(2,5)=1/4 (бассейна) - наполнила большая труба за 2,5 часа 5) 3/4-1/4=2/4=1/2 (бассейна) - осталось наполнить 6) 1/2:(1/6)=6/2=3 (ч.) ответ: бассейн наполнится на три четверти через 3 часа совместной работы обеих труб.