8913300
Пошаговое объяснение:
число 235235.
Замечание: вот если бы это число состояло из 6 различных цифр, то количество чисел, полученных перестановки цифр равнялось бы числу перестановок 6!=720. Довольно много. Наш случай попроще.
Представим наше число, как сумму 235235=235000+235. Разобьём его цифры на две одинаковые группы, и назовем их:
группа сотен 235;
группа тысяч 235.
Часть 1.
Пока не переставляем цифры из группы в группу.
В группе сотен возможны 3! = 6 перестановок. Вот они:
235; 253; 325; 352; 523; 532.
Посчитаем сумму этих чисел С₁:
С₁= 235+253+325+352+523+532=2220.
Возьмем группу тысяч 235. В этой группе точно также возможны только 6 различных чисел, полученных путем перестановок. Найдем сумму этих чисел Т₁. Очевидно, что сумма будет в 1000 раз больше, чем сумма чисел в группе сотен, т.е.
Т₁=1000*С₁
Т₁= 2220*1000=2220000.
Теперь заметим, для каждого числа при перестановке из группы тысяч есть еще шесть чисел с переставленными цифрами из группы сотен.
Следовательно общая сумма S₁ чисел равна:
S₁=Т₁+6С₁;
S₁=2220000+6*2220=2233320.
Часть 2.
В части 1 указаны не все возможные перестановки цифр в числе 235235. Посмотрим внимательно на наши группы (группа тысяч и группа сотен). Рассмотрим все возможные варианты перестановки цифр из группы в группу. Естественно, переставляем из группы в группу только разные цифры. И сразу будем считать суммы чисел S₂. Не забываем, что для каждого числа из группы тысяч есть в данном случае три числа (перестановки) из группы сотен.
Здесь под названиями групп записаны словами какими цифрами группы обмениваются. Далее пишутся числа с перестановкой цифр, и подсчитывается сумма этих чисел.
Есть всего 6 вариантов обмена цифрами. Распишем их все, чтобы не запутаться.
группа тысяч 235 группа сотен 235
1) двойка вместо тройки тройка вместо двойки
225 335
Т₂₁= 1000*(225+252+522)=999000 С₂₁= 335+353+533= 1221
S₂₁= Т₂₁+3*С₂₁= 999000+3*1221 =1002663.
2) двойка вместо пятерки пятерка вместо двойки
232 535
Т₂₂=1000*(232+223+322)=777000 С₂₂=535+355+553=1443
S₂₂= Т₂₂+3*С₂₂=777000+3*1443=781329
3) тройка вместо двойки двойка вместо тройки
335 225
Т₂₃=1000*(335+353+533)= 1221000 С₂₃=225+252+522=999
S₂₃= Т₂₃+3*С₂₃=1221000+3*999=1223997
4) тройка вместо пятерки пятерка вместо тройки
233 255
Т₂₄= 1000*(233+323+332)=888000 С₂₄=255+525+552=1332
S₂₄=Т₂₄+3*С₂₄=888000+3*1329=891996.
5) пятерка вместо двойки двойка вместо пятерки
535 232
Т₂₅= 1000*(535+355+553)=1443000 С₂₅=232+322+223=777
S₂₅=Т₂₅+3*С₂₅
S₂₅=1443000+3*777=1445331.
6) пятерка вместо тройки тройка вместо пятерки
255 233
Т₂₆= 1000*(255+525+552)=1332000 С₂₆=233+323+332=888
S₂₆=Т₂₆+3*С₂₆
S₂₆=1332000+3*888=1334664.
Cумма чисел случая 2: S₂=S₂₁+S₂₂+S₂₃+S₂₄+S₂₅+S₂₆;
S₂=1002663+781329+1223997 +891996+1445331+1334664=6679980
Итого по обоим случаям:
S=S₁+S₂;
S=2233320+6679980=8913300
2) 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77