Для решения данной задачи будем анализировать каждую из трех последовательностей по отдельности.
1) Последовательность xn = n/(n+1)
Данная последовательность является последовательностью дробей, где числитель равен n, а знаменатель равен (n+1). Чтобы проверить, возрастающая ли данная последовательность, нужно сравнить каждый элемент с предыдущим.
Допустим, мы хотим сравнить n-ый элемент с (n-1)-ым элементом. То есть xn с xn-1.
xn = n/(n+1)
xn-1 = (n-1)/n
Чтобы показать, что xn > xn-1, нужно сравнить их значения:
n/(n+1) > (n-1)/n
Чтобы избавиться от знаменателей в неравенстве, можно умножить обе части неравенства на (n+1)*n:
n*n > (n-1)*(n+1)
Раскрыв скобки, получим:
n^2 > n^2 - 1
Так как n^2 больше n^2 - 1, можно сделать вывод, что n/(n+1) > (n-1)/n. Это означает, что последовательность 1) является возрастающей.
2) Последовательность xn = n^2/(n^2+2)
Данная последовательность также является последовательностью дробей, где числитель равен n^2, а знаменатель равен (n^2+2). Чтобы проверить, возрастающая ли данная последовательность, нужно сравнить каждый элемент с предыдущим.
Аналогично предыдущему случаю, допустим, мы хотим сравнить n-ый элемент с (n-1)-ым элементом. То есть xn с xn-1.
xn = n^2/(n^2+2)
xn-1 = (n-1)^2/((n-1)^2+2)
Чтобы показать, что xn > xn-1, нужно сравнить их значения:
n^2/(n^2+2) > (n-1)^2/((n-1)^2+2)
Чтобы избавиться от знаменателей в неравенстве, можно умножить обе части неравенства на (n^2+2)*((n-1)^2):
n^2*(n-1)^2 > (n-1)^2*(n^2+2)
Так как слева и справа находятся одинаковые выражения, за исключением константы (-2), можно сделать вывод, что xn > xn-1. Это означает, что последовательность 2) является возрастающей.
3) Последовательность xn = 2n/(n^2+1)
Данная последовательность также является последовательностью дробей, где числитель равен 2n, а знаменатель равен (n^2+1). Чтобы проверить, убывающая ли данная последовательность, нужно сравнить каждый элемент с предыдущим.
Аналогично предыдущим случаям, допустим, мы хотим сравнить n-ый элемент с (n-1)-ым элементом. То есть xn с xn-1.
xn = 2n/(n^2+1)
xn-1 = 2(n-1)/((n-1)^2+1)
Чтобы показать, что xn < xn-1, нужно сравнить их значения:
2n/(n^2+1) < 2(n-1)/((n-1)^2+1)
Чтобы избавиться от знаменателей в неравенстве, можно умножить обе части неравенства на (n^2+1)*((n-1)^2+1):
2n*((n-1)^2+1) < 2(n-1)*(n^2+1)
Распределительницу, чтобы все слагаемые оказались в левой части неравенства:
-2n^2 + 2n - 2 - (-4n^2 + 4n) > 0
Раскроем скобки и упростим:
2n^2 - 2 > 0
2(n^2 - 1) > 0
(n^2 - 1) > 0
Выражение n^2 - 1 является квадратным трехчленом искомой последовательности 3). Помним, что n принимает значения начиная с 1, так как последовательность определена для натуральных чисел.
Анализируя выражение n^2 - 1, когда n = 1, получаем:
1^2 - 1 = 1 - 1 = 0
Когда n = 2, получаем:
2^2 - 1 = 4 - 1 = 3
Мы видим, что начиная с элемента n = 2, каждый следующий элемент выполняет условие (n^2 - 1) > 0. То есть n-ый элемент каждый раз больше (n-1)-ого элемента для n > 1. Это означает, что последовательность 3) является убывающей.
Таким образом, мы доказали, что последовательности 1) и 2) являются возрастающими, а последовательность 3) является убывающей.
Хорошо, давайте разберем этот вопрос шаг за шагом.
Дано:
- Первая бригада выполняет работу за 8 часов
- Вторая бригада выполняет работу на 1 8/7 больше первой бригады
Нам нужно найти время, за которое обе бригады смогут закончить работу, если работа будет выполнена совместными усилиями.
Шаг 1: Найдем время, за которое вторая бригада заканчивает работу.
Для этого мы должны умножить время работы первой бригады на 1 8/7:
8 * 1 8/7 = (8 * 18) / 7 = 144 / 7 = 20 4/7
Значит, вторая бригада заканчивает работу за 20 часов и 4/7 часа.
Шаг 2: Найдем общее время, необходимое для завершения работы обеими бригадами совместно.
Для этого мы должны сложить время работы первой и второй бригад в часах и минутах:
8 часов + 20 часов = 28 часов
Таким образом, обе бригады закончат работу за 28 часов.
В итоге, ответ на задачу: обе бригады совместно закончат работу за 28 часов.
