Question

Определите, является ли функция f(x) первообразной для функции f(x) на r: f(x)=-cos x/2 -x^3 +4, f(x)=1/2 sin x/2 -3x^2

Answer 1

Найдем производную от первообразной
F(x)`=1/2sinx/2-3x²
F(x)`=f(x)⇒F(x) первообразная для f(x)

Answer 2

Для решения этой задачи, мы должны убедиться, что функция F(x) является первообразной для функции f(x) на интервале r.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале r, если производная функции F(x) равна функции f(x) на этом интервале.

Для начала, найдем производную функции F(x) и проверим, равна ли она функции f(x).

Производная функции F(x) будет равна сумме производных каждого слагаемого в функции F(x).

Последовательно найдем производные каждого слагаемого в функции F(x).

Производная функции -cos(x/2) будет равна sin(x/2) * (1/2) * (1/2) = (1/4) sin(x/2)

Производная функции -x^3 будет равна -3x^2

Производная функции 4 будет равна 0, так как постоянная функция не имеет производной.

Теперь сложим производные каждого слагаемого:
(1/4) sin(x/2) - 3x^2

Полученная функция совпадает с функцией f(x), следовательно функция F(x) является первообразной для функции f(x) на интервале r.