Далеко на сході, серед бурхливих хвиль Тихого океану, на численних островах знаходиться Японія, яку називають ще Країною Вранішнього Сонця. Тут живуть люди, які вклоняються красі та вміють її створювати. Вони знають секрети вирощування карликових дерев («бонсай»), аранжування букетів («ікебана»), насолоджуються уславленою чайною церемонією («таною»), мають мистецтво каліграфії, театр «кабукі», в якому грають тільки чоловіки, боротьбу дзю-до та сумо. Навіть свята у них незвичні. Тисячі людей родинами виходять милуватися місячним сяйвом, цвітінням сакури, персика, сливи, хризантем. Окрім того, японці люблять природу, вони вважають її живим організмом, який має свої закони. Саме тому найбільше щастя для них — пізнати ці закони, злитися з природою, щоб очистити душу, збудити почуття прекрасного. А ще японці люблять поезію, яка супроводжує їх упродовж всього життя.
Одним з відомих японських поетів був і Мацуо Басьо. Незважаючи на те що він жив у ХУІІ столітті, його вірші, хоку, цікавлять і сучасних читачів. Чим це пояснити? Можливо, надзвичайною глибиною проникнення у сутність природних явищ, умінням змалювати красу природи.
Поет уміє бачити незвичне у буденному: всохла гілка нагадує йому про глибоку осінь, старий ставок викликає думку про якийсь тихий притулок, стрибок жабки і плескіт води нагадує про те, що життя є навіть у такому тихому ставку. Як і кожен японець, Басьо вважає, що все живе має душу:
Соловей на гілці —
Це, мабуть, її душа?
Спить плакуча верба.
Ліричний герой захоплений досконалістю природи, її красою.
Тиша, мир і лад.
Десь там тоне межи скель
цвіркотня цикад.
А спів жайворона у небі розкриває безмежні рівнини степу і високого неба:
Степу рівнява —
ніде оку зачепитись.
Жайворон співа.
(Переклад М. Лукаша)
І світовий простір співає, як і душа самого поета, вільна й розкрита, співає хвалу всьому, що є на світі, відчуваючи спорідненість із ним.
Такі думки викликала у мене поезія японського поета Мацуо Басьо. Мого знайомого незнайомця, що не перестає дивувати світ.
Шаг 1 (базис индукции).
Пусть n=1. Тогда левая часть доказываемого равенства 1/(1*5)=1/5, правая часть 1/(4*1+1)=1/5, т.е. равенство справедливо.
Пусть 1/(1*5)+1/(5*9)+...+1/((4k-3)(4k+1))=k/(4k+1) при n=k.
Шаг 2 (индуктивный переход).
Пусть n=k+1. Тогда 1/(1*5)+1/(5*9)+...+1/((4k-3)(4k+1))+1/((4(k+1)-3)(4(k+1)+1))=
=k/(4k+1)+1/((4(k+1)-3)(4(k+1)+1))=k/(4k+1)+1/((4k+4-3)(4k+4+1))=
=k/(4k+1)+1/((4k+1)(4k+5))=(k(4k+5)+1)/((4k+1)(4k+5))=(4k^2+5k+1)/((4k+1)(4k+5))=
=(4k^2+k+4k+1)/((4k+1)(4k+5))=(k(4k+1)+4k+1)/((4k+1)(4k+5))=
=((4k+1)(k+1))/((4k+1)(4k+4+1))=(k+1)/(4(k+1)+1)
Следовательно, исходное предположение справедливо при любых натуральных n.