Question

Обчисліть площу фігури,обмеженої параболою у=8-х^2 і прямою y=4.(если можно,,решение с рисунком,что бы понять как нужно

Answer 1

Оскільки y = 8 - x² -- парабола, що йде гільками вниз, а y = 4 -- пряма, що паралельна осі x, то навіть без рисунка зрозуміло, що верхнім графіком буде саме парабола.

Знайдемо межі інтегрування:
8 - x² = 4
x = +/- 2

Оскільки обидві функціі парні і межі інтегрування симетричні відносно осі y, площу можна знайти як:
$S =2\int\limits^2_0 {(8-x^2-4)} \, dx =2\int\limits^2_0 {(4-x^2)} \, dx=2*(4x- \frac{x^3}{3} |^2_0)=2*(8-\frac{8}{3})=2*\frac{16}{3}=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}$

Answer 2

Строим график функции :   у = 8 - х²    - парабола
х I -3  -2  -1  0  1  2  3
у I -1   4   7  8  7  4 -1
Строим прямую   у = 4

Найдём точки пересечения параболы
8 - х² = 0
х² = 8
х₁ = √8      х₂ = -√8

Найдем точки пересечения параболы с прямой
8 - х² = 4
х² = 4
х₁ = 2     х₂ = - 2

$S_{1} = \int\limits^a_b {(8- x^{2} )} \, dx =2* \int\limits^a_b {8x- \frac{ x^{3} }{3} } \, =2*(8* \sqrt{8}-8* \frac{ \sqrt{8} }{3}) } =$
$=2*(16* \sqrt{2}-16* \frac{ \sqrt{2} }{3})=64 \frac{ \sqrt{2} }{3}$ ,
где a = 0, b =√8

$S_{2}=2* \int\limits^a_b {(8- x^{2} )} \, dx=2* \int\limits^a_b {(8x- \frac{ x^{3} }{3} )} \, dx=2*(16- \frac{8}{3})= \frac{80}{3}$ ,
где a = 0, b = 2
   
S= S_{1} - S_{2}=64 \frac{ \sqrt{2} }{3}- \frac{80}{3}= \frac{64 \sqrt{2}-80 }{3}