1) при n=1:
левая часть: это первый член суммы, т.е.2
правая часть: 1*(2*1^2+9+1)/6 = 12/6=2
2=2 , т.е. равенство выполняется
2) предполагаем, что 2+7+14+...+(n^2+2n+1)=n(2n^2+9n+1)/6
3) проверяем верность этого равенства для (n+1):
для удобства записи я буду отдельно упрощать левую часть, потом правую и докажу, что они равны, итак, левая часть:
2+7+14++(n^2+2n-1)+((n+1)^2+2(n+1)-1) = т.к. мы предположили п.2, то первые n слагаемых я заменяю на их значение, т.е. на "правую" часть из п.2 и прибавляю последнее слагаемое = n(2n^2+9n+1)/6 + ( (n+1)^2 + 2(n+1)-1) = (2n^3+9n^2+n)/6+(n^2+2n+1+2n+2-1) = (2n^3+9n^2+n)/6 + (n^2+4n+2) = приводим к общему знаменателю: =
=(2n^3+9n^2+n+6n^2+24n+12)/6 = (2n^3+15n^2+25n+12)/6
Теперь займёмся правой частью для (n+1):
((n+1)(2(n+1)^2+9(n+1)+1)/6 = ((n+1)(2n^2+4n+2+9n+9+1))/6 = ((n+1)* (2n^2+13n+12))/6 = (2n^3+13n^2+12n+2n^2+13n+12)/6 = (2n^3+15n^2+25n+12)/6
пришли к тому же выражению, что и при преобразовании левой части, т.е. утверждение доказано методом математической индукции.
25*6/10
250/10*6/10
150/10
15