Question

Докажите, что для любого натурального n разность n в 9 степени минус n в 5 степени кратна 30

Answer 1

$n^9-n^5=n^9(n^4-1)=n^5(n^2-1)(n^2+1)=n^5(n-1)(n+1)(n^2+1)$

при n=1: $n^9-n^5=1^9-1^5=0$ делится нацело на 30
среди трех последовательных натуральных чисел n-1, n, n+1 хотя бы одно кратно 2 и хотя бы одно кратно 3

если ни одно из чисел n-1, n, n+1 не кратно 5, то тогда число n при делении на 5 дает остаток 2, или -2 (иначе остаток +3)
т.е. можно записать $n=5k^+_-2$ где k - целое
тогда $n^2+1=(5k^+_-2)^2+1=25k^+_-20k+4+1=25k^2^+_-20k+5=$
$=5(5k^2^+_-10k+1)$  кратное 5

т.е. либо одно из чисел n-1,n, n+1 кратно 5 либо n^2+1 кратно 5

таким образом данное выражение кратно 2, 3, 5 (2, 3, 5 взаимно простые каждые два между собой), а значит оно делится нацело на 2*3*5=30
таким образом мы доказали утверждение.
Доказано