Question

1)2cos 2(cтепень) x + cos x -1 =0; 2) 2sin 2(степень) x - 2,5sin 2 x - 3cos 2(степень) x = 0; 3) знайдіть найменший додатний корінь рівняння: 1-cos 2x = (cos 2x - sin 2x) 2(cтепень).; 4) cos x + cos 3x = 0 sun x + 1

Answer 1

$2cos^2x+cosx-1=0\\cosx_{1,2}=\frac{-1^+_-\sqrt{1+8}}{4}=\frac{-1^+_-3}{4}\\cosx_1=-1\ \ \ \ \ \ ;cosx_2=0,5\\x_1=\pi+2\pi n\ \ \ ;x_2=^+_-\frac{\pi}{3}+2\pi n;n\in Z$

$2sin^2x-2,5sin2x-3cos^2x = 0\\2sin^2x-5sinxcosx-3cos^2x=0|:cos^2x\\2tg^2x-5tgx-3=0\\tgx_{1,2}=\frac{5^+_-\sqrt{25+24}}{4}=\frac{5^+_-7}{4}\\tgx_1=3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ tgx_2=-\frac{1}{2}\\x_1=arctg3+\pi n\ ;x_2=-arctg\frac{1}{2}+\pi n;n\in Z$

$1-cos2x=(cos 2x-sin2x)^2\\1-cos2x=cos^22x+sin^22x-2cos2xsin2x\\1-cos2x=1-2cos2xsin2x\\2cos2xsin2x-cos2x=0\\cos2x(2sin2x-1)=0\\cos2x=0\ 2sin2x-1=0\\2x=\frac{\pi}{2}+\pi n\ ;sin2x=\frac{1}{2}\\x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\ \ ;2x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_1=\frac{\pi}{12}+\pi n\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=\frac{5\pi}{12}+\pi n$
Відповідь: $\frac{\pi}{12}$

$\frac{cosx+cos3x}{sinx+1}\\OD3:sinx+1\neq0\\sinx\neq-1\\x\neq-\frac{\pi}{2}+2\pi n;n\in Z\\\\cosx+cos3x=0\\cosx+4cos^3x-3cosx=4cos^3x-2cosx=2cosx(2cos^2x-1)=0\\2cosx=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ ;2cos^2x-1=0\\cosx=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ cos^2x=\frac{1}{2}\\x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\ \ \ \ \ \ \ cosx=\frac{1}{\sqrt2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ cosx=-\frac{1}{\sqrt2}\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_1=^+_-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\ ;x_2=^+_-\frac{\pi}{4}+2\pi n$