1) Надо использовать свойство симметрии вершин параллелограмма относительно точки пересечения диагоналей. Находим точку О пересечения диагоналей как середину диагонали АС. О((2+4)/2=3;-3+3)/2=0;(1-4)/2=-1,5)) = (3;0;-1,5). Находим координаты точки Д: Хд = 2Хо - Хв = 2*3-(-3) = 6+3 = 9, Yд = 2Yо - Yв = 2*0-5 = -5, Zд = 2Zо - Zв = 2*(-1,5)-3 = -6.
Д(9;-5;-6).
2) Для того, чтобы узнать, какой угол острый, надо найти косинусы углов между векторами ВА и ВС, АВ и АД. ВА(2-(-3)=5;-3-5=-8;1-3=-2) = (5;-8;-2), ВС(4+3=7:3-5=-2;-4-3=-7) = (7;-2;-7). cos(<(BA-BC)) = (5*7+8*2+2*7)/(√(5²+8²+2²)*√(7²+2²+7²)) = = (35+16+14)/(√25+64+4)*√(49+4+49)) = 65 / √93 * √102 = 65/(9,643651*10,0995) = 65 / 97,3961 = 0,667378.
АВ = -ВА = (-5;8;2). А (2,-3, 1), Д(9;-5;-6). АД = (7;-2;-7). cos(<(AB-АД)) = (-35-16-14) / 97,3961 = -65 / 97,3961 = -0,667378. Этот угол тупой.
<(BA-BC) = arc cos 0,667378 = 0,840114 радиан = 48,13498°.
1) Вершины треугольника находятся в точках А(4,0,3) В(2,0,2) С(0,1,0). Вычислить его площадь. Находим длины сторон по формуле: Расстояние между точками. d = v ((х2 - х1 )² + (у2 - у1 )² + (z2 – z1 )²) АВ = √(2-4)²+(0-0)²+(2-3)²) =√(4-1) = √5 ≈ 2,236068. Аналогично: ВС = √9 = 3, АС = √26 ≈ 5,09902. Периметр Р = 10.335087, полупериметр р = Р/2 = 5,16754. Площадь S находим по формуле Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)). S ABC= 1,5.
2) Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А(4,0,3) В(2,0,2) С(6,2,3) D(3,7,2). Объем пирамиды равен: (AB{x1, y1, z1} ; AC{x2, y2, z2} ; AД{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3. Произведение векторов: a × b = {ay*bz - az*by; az*bx - ax*bz; ax*by - ay*bx} a1 a2 a3 [AB ; AC]= 0 0 -8,1423. V = (1/6) * 24,275663 = 4,0459438.
3) Составить каноническое уравнение прямой проходящей через точки М1(4,0,3) и М2(2,-2,1).
4) Записать уравнение прямой x+8/-3=y-9/5=z-5/-4 в параметрической форме. x = -3t-8, y = 5t+9, z = -4t+5.
Это тождетство