Даны координаты точек A (-4,-2,-5), B(1,8,-5), C(0,4,-4), D(9,-2,-10 ).
Найти:
1) уравнение плоскости p , проходящей через точки A B C.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - x1 y - y1 z - z1 = 0
x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1
x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1
x - (-4) y - (-2) z - (-5) = 0
1 - (-4) 8 - (-2) (-5) - (-5)
0 - (-4) 4 - (-2) (-4) - (-5)
x - (-4) y - (-2) z - (-5) = 0
5 10 0
4 6 1
(x -(-4))(10·1-0·6) - (y -(-2) )(5·1 -0·4) + (z -(-5))(5·6- 10·4) = 0
10 (x - (-4) ) + (-5) (y - (-2) ) + (-10) (z - (-5) ) = 0
10x - 5y - 10z - 20 = 0, после сокращения на 5 имеем:
2x - y - 2z - 4 = 0.
2) канонические уравнения прямой α , проходящей через точку D ,
перпендикулярно плоскости p. Нормальный вектор плоскости АВС равен направляющему вектору прямой, перпендикулярной к этой плоскости.
a: (x - 9)/2 = (y + 2)/(-1) = (z + 10)/(-2).
3) точки пересечения прямой α с плоскостью p и с координатными
плоскостями xOy, xOz, yOz.
Для этого представим прямую а в параметрическом виде:
(x-9)/2 = t или x = 2t + 9
(y+2)/(-1) = t или y = -t - 2
(z+10)/(-2) = t или z = -2t - 10.
Подставив найденные значения x,y,z в уравнение плоскости, получаем:
4t + 18 + t + 2 + 4t + 20 - 4 = 0
9t = -36, t = -36/9 = -4.
Подставим значение t = -4 в параметрическое уравнение прямой. Тогда получим:
x = 1, y = 1, z = -2.
При пересечении прямой α с координатными плоскостями xOy, xOz, yOz координаты соответственно равны: z =0, y = 0, x = 0.
z = 0 -2y - 4 = -10 y = 6/2 = 3.
y = 0 x - 9 = 4 x = 4 + 9 = 13.
x = 0 2z + 20 = 18 z = -2/2 = -1.
4) расстояние от точки D до плоскости p .
Это расстояние находится по формуле:
|ДM| = √((xm-xs)*(xm-xs)+(ym-ys)*(ym-ys)+(zm-zs)*(zm-zs))
Координаты векторов AB, AC, AД равны:
AB = (5, 10, 0)
AC = (4, 6, 1)
AД = (13, 0, -5)
Координаты векторного произведения AB и AC: [ABxAC] = (10, -5, -10)
Модуль векторного произведения AB и AC: |[ABxAC]| = √(225) = 15
Модуль смешанного произведения AД, AB, AC: |AS[ABxAC]| = 180.
Расстояние от точки S до плоскости ABC вычисляется по формуле
|ДM| = |AS[ABxAC]| / |[ABxAC]|.
|ДM| = 180 / √(225) = 12 = 12.
