Zadanie 4 (Задание 4)
Найдите количество деревьев на n вершинах, в которых степень каждой вершины не больше 2.
n=1 => дерево состоит из одной вершины степени 0.
n>=2 => 1] Вершины степени 0 быть не может (иначе граф несвязный). Значит степень вершин либо 1, либо 2. 2] существует простая цепь, являющаяся подграфом дерева.
Тогда будем достраивать дерево из цепи. Ребро - простая цепь.
Алгоритм:
Изначально есть ребро <u,v>. Степени концов цепи - вершин u и v - равны 1.
Если на данном шаге число вершин в графе равно n - получен один из искомых графов, больше его не изменяем.
Если же число вершин < n, добавляем ребро.
На 1ом шаге мы можем добавить либо ребро <u,a>, либо ребро <a,v>. Без нарушения общности, добавим <u,a>. У нас все еще простая цепь. При этом у концов a и v степень 1, а у всех остальных вершин, здесь это вершина u, - 2, и к ним ребра присоединить уже нельзя. Повторяя подобные операции, будем получать на каждом шаге простую цепь.
На n вершинах можно построить ровно одну простую цепь. А значит и число искомых деревьев равно 1 .
Zadanie 5 (Задание 5)
Покажите, что для графа G=[V,E] с k компонентами связности верно неравенство 
Введем обозначения 
Разобьем граф на компоненты связности. Для каждой компоненты, очевидно, верно неравенство 
. Просуммировав неравенства для каждой из k компонент, получим 
.
Оценка снизу получена.
Лемма: Граф имеет максимальное число ребер, если он имеет k-1 тривиальную компоненту связности и 1 компоненту, являющуюся полным графом. И действительно. Пусть 
– компоненты связности, 
. Тогда при "переносе" одной вершины из 
в 
число ребер увеличится на 
– а значит такая "конфигурация" неоптимальная, и несколькими преобразованиями сводится к указанной в лемме. А тогда максимальное число ребер в графе равно 
Оценка сверху получена.
Zadanie 6 (Задание 6)
Проверьте, являются ли следующие последовательности графическими, обоснуйте ответ
Решение в приложении к ответу
Растения растущие
--в тайге (папоротник,черемша,кедровый
орех, лещина, малина, голубика, жимолость, черемуха, брусника, клюква).
--в тундре (мох, лишайник, травянистая ива, овсяница приземистая, луговик альпийский, мятлик арктический, лисохвост альпийский, осока жесткая, астрагал зонтичный, копеечник неясный, остролодочник грязноватый).
--в смешанном лесу (сосна, береза, рябина, орешник,вереск обыкновенный,черника, медуница, гусиный лук, печеночница благородная, ветреница дубравная).
--в степи (ковыль волосатик, типчак, келерия стройная, шалфей поникающий, зопник колючий).
--в водоеме (тростник, камыш, рогоз, авран лекарственный, дербенник иволистный, калужница болотная, лютики ползучий и ядовитый, полевица побегообразующая, ежеголовники, сусак зонтичный).
--на лугу (осока, клевер, горошек, лютик едкий, чемерица лобеля, болиголов крапчатый, вех ядовитый и горчак ястребинковый, мытник).
теперь можем узнать сколько за час он делает 1конвеер 576/3=192
2ой 444/3=148
Далее, за 15 минут (четверть часа) 1ый 192/4=48 2ой 148/4=37
чтобы узнать за 6 часов умножаем производительность в 1 час на 6
1ый 192*6=1152 2ой 148*6=888
есть итог 3060/340(итого за 1час)=9 часов, далее производительность умножаем на 9 1ый 192*9=1728 2ой 148*9=1332 всего 1728+1332=3060