Question

Требуется огородить прямоугольный участок земли, площадью 15000 кв.м. примыкающий к стене дома с забором так, чтобы длина забора была минимальной, каковы длина и ширина?

Answer 1

А - длина участка (a>0)
b - ширина участка (b>0)

S=a*b

15000=a*b
$a= \frac{15000}{b}$

P=2*(a+b)
по условию задания, участок примыкает к стене дома, =>
пусть он примыкает стороной b, тогда длина забора = 2*а+b
функция $f(b)=2* \frac{15000}{b}+b$

найдем наименьшее значение функции f(b):

1. $f'(b)=(2* \frac{15000}{b}+b )'=- \frac{30000}{ b^{2} } +1$

2. f'(b)=0, $- \frac{30000}{ b^{2} }+1=0$
$\frac{-30000+ b^{2} }{ b^{2} } =0 \left \{ {{-30000+ b^{2}=0 } \atop { b^{2} \neq 0 }} \right.$
b²=30000, b=+-√30000 .  b=+-100√3

3.
f'(b)       +                                   -                                          +
-----------------------(-100√3)---------------------(100√3)--------------->b
f(b)  возрастает   max          убывает         min       возрастает

b=100*√3 точка минимума
$a= \frac{15000}{100 \sqrt{3} } = \frac{150}{ \sqrt{3} } =50 \sqrt{3}$

ответ: при а=50√3 м и b =100√3 м длина забора будет наименьшей